Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров читать онлайн - Ральф Винс

Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Ральф Винс

Книга, основанная на теории вероятностей, статистике и современной теории портфеля, рассказывает о том, как использовать различные методы управления капиталом на фьючерсном, валютном, фондовом и других рынках. Концепции, изложенные в этой книге, в большинстве своем просты, как и практические примеры, наглядно иллюстрирующие их использование в торговле. Сочетая практику современной теории портфеля с концепцией оптимального f, автор показывает, как соизмерять ставки и возможные последствия торговых решений. Стратегии, рассмотренные в этой книге, позволяют определять оптимальное количество контрактов для торговли на любых рынках, максимизировать прибыль при торговле с реинвестированием, рассчитывать весовые коэффициенты компонентов инвестиционного портфеля. Книга ориентирована на профессиональных трейдеров и аналитиков, частных и институциональных инвесторов, работающих на фондовом рынке, рынке FOREX, а также на рынках фьючерсов и опционов.

Ральф Винс

Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

THE MATHEMATICS

OF MONEY MANAGEMENT

Risc Analysis Techniques

for Traders

Ralph Vince

Посвящение

Благоприятный прием книги «Формулы управления портфелем» (Portfolio Management Formulas) превзошел мои самые смелые ожидания. Я написал ее, чтобы познакомить читателей с концепцией оптимального f и показать ее взаимосвязь с теорией портфеля.

Эта книга подарила мне много друзей, кроме того, меня поразил столь огромный интерес, проявленный к математическим методам управления капиталом. Все это послужило причиной создания книги, которую вы держите в руках. Я многим обязан Карлу Веберу, Венди Грау и другим сотрудникам компании John Wiley & Sons, которые предоставили мне возможность спокойно работать над этой книгой.

Есть и другие люди, с кем я общался и кто помогал мне в работе. Среди них Флоренс Бобек, Хьюго Бурасса, Джо Бристор, Саймон Дэвис, Ричард Файерстоун, Фред Гем (мы работали вместе какое-то время), Моника Мэйсон, Гордон Николс и Майк Паскаул. Я благодарен им всем. Мне также хочется поблагодарить Фрэна Бартлетта из компании G&H Soho, чей энтузиазм и титанический труд превратили гору моих хаотических идей в законченный продукт, который вы держите сейчас в руках.

Конечно, я не могу назвать здесь всех, кто так или иначе помог мне, но я от души говорю всем спасибо.

Эта книга полностью истощила мои силы, и не думаю, что когда-нибудь смогу написать еще одну. Именно поэтому мне бы хотелось посвятить ее тем людям, которые оказали на меня самое большое влияние: Реджине, моей маме, за то, что научила меня ценить силу воображения; Ларри, моему отцу, за то, что он научил меня «играть» с числами, и Арлин, моей жене, партнеру и лучшему другу. Эта книга посвящается вам троим. Благодарю вас за то, что вы есть!

Р.В.

Шагрин Фоллз, Огайо

Март, 1992

Введение

Обзор книги

В первом предложении книги «Формулы управления портфелем» (Portfolio Management Formulas), которая послужила источником этой книги, я писал, что она посвящена математическим инструментам. Эта книга – о механизмах.

Мы возьмем инструменты и построим более совершенные, более мощные инструменты – механизмы, где целое больше, чем сумма частей, а затем попытаемся понять их устройство, чтобы не воспринимать их как какие-то «черные ящики». При этом мы не будем детально разбирать все без исключения темы (что сделало бы книгу слишком большой). Как известно, чтобы строить реактивный двигатель, не нужно отлично знать химию, главное – понимать, как работает реактивное топливо. То же можно сказать и об этой книге, которая использует статистику и затрагивает вычислительные методы. Я не пытаюсь дать математики больше, чем необходимо для понимания текста. Однако если вы знаете вычислительные методы (или статистику), то вам все будет понятно, а если вы не знаете, то все равно сможете использовать и понимать материал, изложенный в этой книге.

Статистика пользуется определенными математическими функциями. Эти функции, такие как гамма-функции и неполные гамма-функции, бета– и неполные бета-функции, нередко называют функциями математической физики, но их рассмотрение осталось за границами нашей книги. Напомню, эта книга об управлении счетами, а не математическая физика. Тем, кто действительно хочет знать «химию реактивного топлива», я предлагаю заглянуть в книгу У. Пресса и др. «Числовые рецепты» (Numerical Recipes), на которую есть ссылка в списке рекомендованной литературы.

Я попытался осветить материал настолько глубоко, насколько возможно, учитывая, что не обязательно знать вычислительные методы или функции математической физики, чтобы быть хорошим трейдером или управляющим деньгами. Мое мнение таково: между умом и зарабатыванием денег на финансовых рынках нет прямой зависимости. Этим я не хочу сказать, что чем вы глупее, тем выше ваши шансы на успех в торговле. Я имею в виду, что ум – не самая большая составляющая уравнения, определяющего хорошего трейдера. По-моему, в становлении хорошего трейдера более важную роль играют психологическая выносливость и дисциплина, нежели ум. Каждый успешный трейдер, которого я когда-либо встречал или о котором слышал, по крайней мере раз в жизни крупно ошибался и терял довольно много. Общим знаменателем, характеристикой, которая отличает хорошего трейдера от остальных, является то, что он поднимает телефонную трубку и размещает ордер даже в самой тяжелой ситуации. Это требует от человека намного больше, чем ему может дать знание вычислительных методов или статистики.

Одним словом, я написал эту книгу, чтобы ею могли пользоваться реальные трейдеры на реальных рынках. Я не академик. Мне надо, чтобы она помогала практикам, а это превыше академических высот.

Более того, я попытался дать больше базовой информации, чем требуется, в надежде, что читатель будет исследовать концепции глубже, чем это сделал я.

Меня всегда интриговала музыка, особенно теория музыки. Мне нравится читать и узнавать о ней, однако я не музыкант. Чтобы быть музыкантом, нужна определенная дисциплина, чего не может дать простое понимание основ музыкальной теории. То же можно сказать и о торговле. Управление деньгами требует хорошей торговой программы, но знание о том, как надо управлять деньгами, не сделает из вас успешного трейдера.

Эта книга о музыкальной теории, а не инструкция игры на инструменте. Она не о победе над рынками, и вы не найдете в ней ни одного ценового графика. Эта книга посвящена математическим концепциям и делает важный шаг от теории к практике, но она не наделит вас способностью легко встречать удары, которые торговля неизбежно «припасла» для вас.

Эта книга не является продолжением «Формулы управления портфелем». Скорее, книга «Формулы управления портфелем» заложила основу для тем, рассматриваемых здесь.

Эта книга глубже и серьезнее. Для тех, кто не читал «Формулы управления портфелем», глава 1 раскроет основные ее концепции. Включение этих концепций делает книгу, которую вы держите в руках, не зависимой от моей предыдущей книги.

Многие идеи, раскрытые здесь, уже применяются на практике профессиональными

управляющими капиталом. Однако идеи, которые распространены среди профессиональных управляющих капиталом, обычно недоступны частным инвесторам. Поскольку здесь замешаны деньги, все стараются держать в тайне методы управления портфелем. Поиск этой информации – как попытка найти сведения об атомной бомбе. Я крайне признателен библиотекарям, которые помогли мне разобраться в лабиринтах профессиональных журналов и заполнить пробелы в моих знаниях, без чего мне не удалось бы написать эту книгу.

Чтобы использовать инструменты, которые здесь описываются, не обязательно применять механическую объективную торговую систему. Другими словами, тот, кто, например, использует волны Эллиотта для принятия торговых решений, также может применять оптимальное f.

Однако методы, описанные в этой книге, как и те, которые освещены в книге «Формулы управления портфелем», требуют, чтобы сумма ваших ставок была положительна. Другими словами, эти методы дадут вам многое, но они не сделают чуда. Грамотное управление деньгами не превратит ваши убытки в прибыли. Вы изначально должны иметь выигрышный подход.

Большинство методов, рассматриваемых в этой книге, эффективны при долгосрочных стратегиях. На протяжении всей книги вы будете встречать термин «асимптотический смысл», что означает возможный результат чего-либо, осуществленного бесконечное число раз, когда вероятность приближается к определенности при увеличении количества попыток. Другими словами, что-то, в чем мы можем быть почти уверены с течением времени. Смысл этого выражения содержится в математическом термине «асимптота», определяющим такую «прямую, которая, будучи неопределенно продолжена, приближается к данной кривой так, что расстояние между кривой и прямой линией приближается к нулю на бесконечном расстоянии от начала координат».

Торговля никогда не была легким занятием. Когда трейдеры изучают эти концепции, они часто приобретают ложное чувство силы. Я говорю «ложное», так как складывается впечатление, будто что-либо, что очень трудно сделать, на самом деле очень легко, если понять механику процесса. Когда вы будете читать эту книгу, помните, что в ней нет ничего, что может сделать вас лучшим трейдером, ничего, что может улучшить ваш фактор времени входа на рынок и выхода с него, ничего, что улучшит ваш торговый выбор. Эти трудные задачи так и останутся вашими задачами, даже после того как вы прочтете эту книгу.

После издания книги «Формулы управления портфелем» меня не раз спрашивали, почему я решил ее написать. Обычный аргумент против заключался в том, что рынок предполагает конкуренцию, а написать книгу– все равно что открыть свои секреты противнику.

Однако мало кто представляет, насколько велики сегодня рынки. Да, рынки предполагают игру, в которой деньги переходят от одного участника к другому. Но в силу их огромного размера вы, читатель, вряд ли станете моим соперником.

Чаще всего я сам являюсь своим главным врагом. Это верно не только в отношении торговли на рынках, но и жизни вообще. Другие трейдеры не представляют для меня такой угрозы, какую представляю я сам. Думаю, в этом я не одинок, и большинство трейдеров согласятся со мной.

В середине 80-х годов, когда компьютер стал основным инструментом трейдеров, появилось большое количество торговых программ, которые открывали позицию по стоп-ордеру, и размещение этих стоп-ордеров часто зависело от текущей волатильности на данном рынке. Эти системы некоторое время работали прекрасно. Затем, к концу десятилетия, такие виды систем почти перестали использовать. В лучшем случае они приносили только малую долю прибылей, по сравнению с несколькими годами ранее. Большинство трейдеров, применявших эти системы, впоследствии перестали ими пользоваться, заявляя, что «раз все ими пользуются, то как они могут работать?».

Как правило, эти системы применяли на рынке фьючерсов на казначейские облигации. Давайте рассмотрим теперь взаимоотношения между рынками. Когда цены на рынке спот и фьючерсном рынке расходятся (обычно не более чем на несколько тиков), в игру вступают арбитражеры, покупая менее дорогостоящий из двух инструментов и продавая более дорогостоящий. В результате расхождение между ценой спот-рынка и ценой фьючерсного рынка достаточно быстро исчезает. Разница между ценой на спот-рынке и фьючерсном рынке может быть действительно большой, только когда внешний шок (какие-либо неожиданные события или новости) ведет цены к большему расхождению, чем это бывает при обычном процессе арбитража. Такие разрывы происходят обычно в течение очень короткого времени и встречаются довольно редко. Арбитражер зарабатывает на разнице в ценах, тем самым сглаживая их. В результате рынок фьючерсов казначейских облигаций внутренне привязан к огромному спот-рынку казначейских обязательств. Фьючерсный рынок отражает, по крайней мере до нескольких тиков, то, что происходит на гигантском спот-рынке, который никогда не был ведомым системными трейдерами, скорее наоборот.

Вернемся теперь к нашему разговору. Маловероятно, чтобы трейдеры на спот-рынке и на фьючерсном рынке начали торговать в одной системе в одно и то же время! Так же маловероятно, чтобы участники спот-рынка решили вступить в сговор против тех, кто процветает на фьючерсном рынке. Тот факт, что многие фьючерсные трейдеры торговали с помощью этих систем, не может считаться причиной того, что эти системы перестали работать, поскольку это означало бы, что крупный участник на любом небольшом по объему рынке был бы обречен на неудачу. И глупо полагать, что, как только выйдет в свет моя книга по концепциям управления счетом, все сливки с рынка будут моментально сняты.

Победа над рынком требует большего, чем понимание концепций управления деньгами. Она требует дисциплины, чтобы вынести удары, которые 19 из 20 людей не смогут вынести. Этому вас не научит ни одна книга. Тот, кто заявляет, что он заинтригован «интеллектуальным вызовом рынков», – не трейдер. Рынки столь же интеллектуальны, как и кулачный бой. Лучший совет, который я могу дать, – всегда закрывать свой подбородок и челюсть. Проиграете вы или выиграете, все равно будут удары. В действительности на рынках мало что относится к интеллектуальному вызову; в конечном счете торговля – это тест на самообладание и выносливость. Эта книга пытается детально объяснить стратегию кулачного боя, и ее следует использовать только тому, кто уже обладает необходимой выносливостью.

Некоторые распространенные ложные концепции

В этой книге мы оспорим некоторые распространенные концепции:

• потенциальную прибыль можно рассматривать как линейную функцию потенциального риска, т. е. чем больше вы рискуете, тем больше ваша возможность выиграть;

• ваше положение в спектре риска зависит от инструмента, которым вы торгуете;

• диверсификация уменьшает убытки (она может это сделать, но только до определенной степени – намного меньше, чем считают большинство трейдеров);

• цена ведет себя рационально.

Последней из этих ложных концепций, касающейся рационального поведения цены, вероятно, менее всего придается значения, хотя ее последствия могут быть особенно разрушительными. Под

«рациональным поведением» подразумевается, что при торговле на определенном ценовом уровне цена движется (по тикам) обычно вверх или вниз. Таким образом, если цена движется от одной точки к другой, то можно заключить сделку в любой точке между ними. Большинство смутно осознает, что цена не ведет себя таким образом, и тем не менее используют торговые методы, которые допускают, что цена движется именно так.

Цена является искусственно воспринимаемой величиной и поэтому не может меняться столь упорядоченно. Временами она делает большие скачки и переходит с одного уровня на другой, полностью минуя все промежуточные значения. Цена порой делает просто гигантские скачки, и происходит это намного чаще, чем считает большинство трейдеров. Ошибка при выборе позиции стоит дорого, она может привести к краху и даже полностью уничтожить счет трейдера.

Стоит ли упоминать здесь об этом? Я думаю это необходимо, потому что основа любой эффективной игровой стратегии (а управление деньгами в конечном счете является игровой стратегией) – надеяться на лучшее и готовиться к худшему.

Сценарии и стратегия худшего случая

С частью «надеятьсяся на лучшее» разобраться довольно легко. Подготовиться же к худшему психологически довольно сложно, и большинство трейдеров предпочитают просто не думать о таком развитии событий. Это касается не только торговли, но и других сфер человеческой деятельности. Когда сценарии худшего случая имеют очень маленькую вероятность, ими можно пренебречь. Однако всегда надо быть готовым к худшему случаю, и это должно стать одной из составляющих стратегии управления деньгами.

Вы увидите, что мы всегда будем продумывать стратегию исходя из сценария худшего случая. Мы всегда будем включать его в математический метод, чтобы просчитать ситуации, которые предполагают осуществление худшего случая.

Наконец, необходимо учитывать следующую аксиому. Если вы играете в игру с неограниченной ответственностью, то обанкротитесь с вероятностью, которая приближается к уверенности, когда длина игры приближается к бесконечности. Не очень приятная перспектива, не правда ли? Поясним сказанное на примере: если вы можете умереть от удара молнией, то в конце концов это произойдет. Если вы торгуете инструментом с неограниченной ответственностью (таким как фьючерсы), то в итоге понесете убыток такой величины, что потеряете все.

Вероятность того, что вас поразит молния именно сегодня, чрезвычайно мала, и очень мала в течение следующих пятидесяти лет. Однако эта вероятность существует, и если вам суждено прожить достаточно долго, то в конце концов эта микроскопическая вероятность реализуется. Таким же образом вероятность понести огромный убыток по позиции сегодня может быть чрезвычайно мала (но намного больше, чем умереть сегодня от молнии). Однако если вы торгуете достаточно долго, то в конце концов эта вероятность также будет реализована.

Существуют три подхода, которые вы можете использовать. Первый – это торговать только теми инструментами, где ответственность ограничена (например, длинная позиция по опционам). Второй – не торговать бесконечно долгий период времени. Большинство трейдеров умрут прежде, чем разорятся (или прежде, чем их поразит молния). Вероятность огромного выигрыша также существует, и одна из приятных сторон торговли заключается в том, что вам не обязательно сразу получить гигантский выигрыш, достаточно многих маленьких побед. Поэтому если вы не собираетесь торговать финансовыми инструментами с ограниченной ответственностью и не собираетесь умирать, то пообещайте себе, что прекратите торговлю, когда баланс вашего счета достигнет некоторой заранее установленной цели. Если когда-нибудь вы достигнете этой цели, уходите с рынка и никогда не возвращайтесь.

Мы рассматривали сценарии худшего случая и то, как избежать или по крайней мере уменьшить вероятность его появления. Представьте, что сегодня вы получили-таки огромный проигрыш, ваш счет опустошен и брокерская фирма хочет знать, что вы будете делать с этим большим дебетом на счете. Вы не ожидали, что это произойдет сегодня. Те, кто попадает в такую ситуацию, чаще всего не готовы к ней.

Теперь попытайтесь представить, как бы вы себя чувствовали в такой ситуации. Затем попытайтесь понять, что бы вы сделали в этом случае. Запишите на листок бумаги план ваших действий: кому позвонить, чтобы получить юридическую помощь, и т. д. Сделайте список настолько подробным, насколько возможно. Сделайте все сейчас, чтобы, когда худшее произойдет, вам не пришлось к этому возвращаться. Есть ли какие-то вопросы, которые вы можете решить сейчас, чтобы защитить себя до возможного ужасающего убытка? Вы уверены, что не хотите торговать инструментом с ограниченной ответственностью? Если вы собираетесь торговать средством с неограниченной ответственностью, на каком заработке вы остановитесь? Запишите, какой уровень прибыли вам подходит. Теперь закройте книгу, отложите ее и некоторое время подумайте над этими вопросами. Именно с этой точки мы и двинемся дальше.

Задача книги состоит не в том, чтобы сделать вас фаталистом. Это будет антипродуктивно, так как для эффективной торговли на рынках с вашей стороны потребуется большой оптимизм, чтобы пройти через все неизбежные затяжные периоды убытков. Цель книги – заставить вас задуматься о сценарии худшего случая и заранее продумать план действий, если такое произойдет. Так что возьмите листок бумаги с вашим планом на крайний случай (и с суммой счета, при которой вы перестанете торговать) и положите его в верхний ящик стола. Теперь, если начнет вырисовываться сценарий худшего случая, вам не придется прыгать из окна.

Надейтесь на лучшее, но готовьтесь к худшему! Если вы не сделали этих приготовлений, закройте эту книгу и не открывайте ее. Ничто не поможет вам, если вы не создадите себе фундамент, на который будете опираться.

Система математических обозначений

Так как эта книга полна математических уравнений, я попытался сделать математические обозначения легкими для понимания, причем настолько легкими, чтобы их можно было взять из текста и перенести на экран компьютера. Умножение всегда будет обозначаться звездочкой (*), а возведение в степень – поднятым знаком вставки (^). Поэтому квадратный корень числа будет обозначаться так: ^(1/2). Вы никогда не встретите знак корня. Деление в большинстве случаев выражено черточкой (/). При использовании знака корня и средства выражения деления с помощью горизонтальной линии длинные подкоренные выражения, а также выражения в числителе и знаменателе дроби часто не берутся в скобки. При переводе такого выражения в компьютерный код может возникнуть путаница, но мы избежим ее с помощью условных обозначений для деления и возведения в степень. Круглые скобки будут единственным оператором группировки, и они могут быть использованы для ясности выражения, даже если с точки зрения математики в них нет необходимости. В качестве оператора группировки также будут использоваться фигурные скобки {}.

Большинство математических функций, используемых в книге, довольно просты (например, функция абсолютного значения или функция натурального логарифма).

Правда, есть одна функция, которая может быть знакома не всем читателям, – это экспоненциальная функция, обозначаемая в книге EXP(). Математически она чаще выражается как постоянная е, равная 2,7182818285, возведенная в степень. Таким образом:

EXP(X) = e ^ X = 2,7182818285 ^ X.

Мы будем использовать обозначение EXP(X), поскольку в большинстве компьютерных языков в той или иной форме есть эта функция. Так как большая часть математики книги может быть перенесена в компьютер, предложенная система обозначений оптимальна.

Синтетические конструкции в этой книге

Когда вы будете читать книгу, то увидите, что в ней достаточно много геометрии. Однако для того, чтобы добраться до этой геометрии, нам придется создать определенные синтетические конструкции. Для начала мы переведем торговые прибыли и убытки в HPR (holding period returns) – прибыль за период удержания позиции. Таким образом, сделке, которая принесла 10 % прибыли, соответствует HPR = 1 + 0,10 = 1,10. Аналогично сделке, по которой получился убыток 10 %, соответствует HPR = 1 + (–0,10) = 0,90. В большинстве книг при ссылке на прибыль за период удержания позиции единица не прибавляется к проценту выигрыша или проигрыша. Однако в этой книге, когда упоминается HPR, мы всегда прибавляем единицу к проценту проигрыша или выигрыша.

Еще одна синтетическая конструкция, которую мы будем использовать, – это рыночная система. Она является определенным торговым подходом на данном рынке (подход не обязательно должен быть механической торговой системой). Предположим, мы используем два различных подхода, чтобы торговать на двух рынках: один из наших подходов является системой, основанной на пересечении графика цены и простой скользящей средней, другой – основан на интерпретации волн Эллиотта. Далее предположим, что мы торгуем на двух рынках, например казначейских облигаций и мазута. У нас получается четыре различных рыночных системы: система скользящей средней на рынке облигаций, система волн Эллиотта на рынке облигаций, система скользящей средней на рынке мазута и система волн Эллиотта на рынке мазута.

Рыночная система может быть далее дифференцирована другими факторами, одним из которых является зависимость. Например, в системе скользящей средней мы обнаруживаем (посредством методов, описанных в этой книге), что прибыльные сделки порождают убыточные, и наоборот. Мы разбиваем нашу систему скользящей средней на две рыночные системы. Одна из рыночных систем будет торговать только после проигрыша (учитывая природу такой зависимости, эта система лучше), другая рыночная система будет работать только после выигрыша. Возвращаясь к торговле по системе скользящей средней на рынках казначейских облигаций и мазута и используя метод торговли по волнам Эллиотта, мы теперь имеем шесть рыночных систем: система скользящей средней после проигрыша по облигациям; система скользящей средней после выигрыша по облигациям; метод, основанный на волнах Эллиотта, на рынке облигаций; система скользящей средней после выигрыша на рынке мазута; система скользящей средней после проигрыша на рынке мазута и метод, основанный на волнах Эллиотта, на рынке мазута.

Торговля, основанная на пирамидальном подходе (прибавление контрактов во время торговли), рассматривается с точки зрения управления капиталом как несколько последовательных рыночных систем. Если вы применяете торговый метод, основанный на пирамиде, то должны считать первоначальный вход на рынок одной рыночной системой. Каждый дополнительный контракт при увеличении пирамиды создает еще одну рыночную систему. Допустим, торговый метод требует, чтобы вы добавляли контракты каждый раз, когда зарабатываете 1000 долл. Если торговля успешна, то следует прибавлять больше и больше контрактов, когда цена будет переходить через уровни прибыли в 1000 долл. Каждый добавленный контракт должен считаться отдельной рыночной системой. В этом есть большой плюс, он состоит в том, что рассматриваемые в этой книге методы дадут вам количество контрактов для определенной рыночной системы в зависимости от уровня баланса на счете. Обращаясь с каждым добавленным контрактом как с отдельной рыночной системой, вы сможете использовать рассматриваемые методы, чтобы узнать оптимальное количество контрактов, которое надо добавить при текущем уровне баланса.

Еще одной очень важной синтетической конструкцией, которую мы будем использовать, является концепция единицы. HPR, которые вы будете рассчитывать для отдельных рыночных систем, должны рассчитываться на основе «одной единицы». Другими словами, если это фьючерсные контракты или опционы, то каждая сделка будет основываться на 1 контракте. Если это акции, то вы должны заранее решить, какой будет эта единица: она может равняться 100 акциям или 1 акции. При торговле на спот-рынках или на рынке FOREX вы также должны решить, какой будет единица. Используя результаты, основанные на торговле 1 единицей и применяя методы этой книги, вы сможете получить выходные результаты, основанные на 1 единице, т. е. поймете, какое количество контрактов или акций необходимо использовать в определенной сделке. Не важно, какое количество вы выберете для единицы, так как это гипотетическая конструкция, необходимая только для того, чтобы произвести расчеты. Для каждой рыночной системы вы должны рассчитать, какой будет единица. Например, если вы торгуете на рынке FOREX, то можете выбрать в качестве единицы 1 млн долл. Если вы трейдер на фондовом рынке, то оптимальным числом может быть 100 акций.

И наконец, необходимо решить, будете ли вы торговать дробными единицами. Например, если вы торгуете на товарном рынке и единица равна 1 контракту, то торговать дробными единицами невозможно. Если вы работаете на фондовом рынке и единица равна 1 акции, то также не сможете торговать дробной единицей, однако если 1 единица – это 100 акций, то можно работать с дробной единицей, если есть желание торговать нестандартным лотом.

Если вы торгуете фьючерсами, то можно взять за единицу 1 мини-контракт и не допускать дробных единиц. Теперь допустим, что 2 мини-контракта соответствуют 1 обычному контракту, и с помощью методов, описанных в этой книге, вы приходите к выводу, что надо торговать 9 единицами, – это будет означать, что вам следует торговать 9 мини-контрактами. Так как при делении 9 на 2 получается 4,5, то следует торговать 4 обычными контрактами и 1 мини-контрактом.

Вообще, с точки зрения управления деньгами считается, что торговля дробными единицами дает определенное преимущество, но, как правило, этот выбор не играет большой роли. Посмотрим на двух трейдеров на рынке акций. У одного единица – это 1 акция, и он не может торговать дробными единицами; у другого единица – 100 акций, и он может торговать дробными единицами. Допустим, что сегодня оптимальное количество для первого трейдера составляет 61 единицу (т. е. 61 акцию), а для второго трейдера в тот же день – 0,61 единицы (снова 61 акция).

Многие справедливо полагают: чтобы стать хорошим учителем, нужно довести материал до уровня, на котором он был бы понятен ученику. Один из способов – провести аналогию между концепцией, которую нужно объяснить, и чем-то знакомым. Поэтому в тексте вы найдете много аналогий. Несмотря на то что аналогии

могут быть весьма полезны и в споре, и при обучении, я отношусь к ним настороженно, так как они привносят нечто чуждое и вынуждают (часто совершенно несправедливо) рассматривать новую концепцию с точки зрения логики уже известного. Например:

квадратный корень из 6 равен 3, так как квадратный корень из 4 составляет 2, а 2 + 2 будет 4.

Поскольку 3 + 3 = 6, то квадратный корень из 6 должен быть равен 3.

Аналогии объясняют, но они ничего не решают. Наоборот, аналогия делает априорное предположение о том, что некоторое суждение истинно, и это «объяснение» затем считается доказательством. Заранее прошу прощения за использование аналогий в книге: я использую их только для наглядности.

Оптимальное количество для торговли и оптимальное f

Современная теория управления портфелем, возможно, являясь вершиной концепции управления капиталом при торговле акциями, не была принята остальным торговым миром. Фьючерсные трейдеры, чьи технические торговые идеи обычно считаются родственными торговым идеям фондового рынка, не желали принимать методы из мира торговли акциями. Вследствие этого современная теория портфеля никогда в действительности не использовалась фьючерсными трейдерами.

В то время как современная теория портфеля определяет оптимальный вес составляющих портфеля (для достижения наименьшей дисперсии при заданном доходе или наоборот), она не затрагивает идею оптимального количества. Речь идет о том, что для данной рыночной системы есть оптимальное количество, которое можно использовать в торговле при данном уровне баланса счета, чтобы максимизировать геометрический рост. Это количество мы и будем называть оптимальным f. Данная книга предлагает, чтобы современная теория портфеля использовалась трейдерами на любых рынках, а не только на фондовом. Однако мы должны породнить современную теорию портфеля (которая дает нам оптимальный вес) с идеей оптимального количества (оптимальное f), чтобы добиться действительно оптимального портфеля. Именно этот оптимальный портфель может и должен использоваться трейдерами на любых рынках, включая фондовые.

При торговле без заемных средств, т. е. без рычага (например, при управлении портфелем акций), вес и количество – это синонимы, но в ситуации с рычагом (например, при управлении портфелем фьючерсных торговых систем) вес и количество различаются. В этой книге вы познакомитесь с концепцией, которая впервые была освещена в книге «Формулы управления портфелем» и заключается в том, что необходимо знать оптимальное торговое количество, которое является функцией оптимального взвешивания.

Как только мы изменим современную теорию портфеля и отделим вес от количества, то сможем вернуться к торговле акциями с этим теперь уже переработанным инструментом. Мы увидим, как почти любой портфель акций без рычага можно улучшить, превратив его в портфель с рычагом, соединив с безрисковым активом. В дальнейшем все станет интуитивно очевидно. Степень риска (или консервативности) является в таком случае функцией рычага, который трейдер желает применить к своему портфелю. Это означает, что положение данного трейдера в спектре «неприятия риска» зависит не от используемого инструмента, а от рычага, который он выбирает для торговли.

Иными словами, эта книга научит вас управлению риском. Мало кто из трейдеров имеет представление об управлении риском. Это не упразднение риска, поскольку тогда вы целиком упразднили бы выигрыш, и не вопрос максимизации потенциального дохода по отношению к потенциальному риску. Управление риском – это стратегия принятия решений, которая имеет целью максимизировать отношения потенциальной прибыли к потенциальному риску при определенном приемлемом уровне риска.

Чтобы понять это, следует сначала познакомиться с оптимальным f – компонентом уравнения, выражающим оптимальное количество для сделки. Затем следует научиться комбинировать оптимальное f с оптимальным взвешиванием портфеля. Такой портфель будет максимизировать потенциальную прибыль по отношению к потенциальному риску. Сначала мы раскроем эти концепции с эмпирической точки зрения (вкратце повторим книгу «Формулы управления портфелем»), а затем изучим их с более мощной точки зрения, параметрической. В отличие от эмпирического подхода, который использует прошлые данные, параметрический подход использует только прошлые данные и некоторые параметры. Затем эти параметры используются в модели, дающей преимущественно те же ответы, что и эмпирический подход. Сильная сторона параметрического подхода заключается в том, что можно менять значения параметров, чтобы посмотреть, как изменится результат. Эмпирический подход не позволяет этого сделать. Однако эмпирические методы тоже имеют свои сильные стороны. Они в основном проще с точки зрения математики, и их легче использовать на практике. По этой причине в книге сначала рассмотрены эмпирические методы.

В конце нашего исследования мы увидим, как применять эти концепции при заданном пользователем уровне риска, и узнаем стратегии, которые максимизируют рост.

В книге рассмотрено много тем. Я попытался изложить их настолько сжато, насколько возможно. Материал может быть не всегда понятен и, возможно, поднимет больше вопросов, чем даст ответов. Если так оно и есть, значит, я добился одной из целей этой книги.

Большинство книг имеет одно «сердце» – одну центральную концепцию, вокруг которой построена вся книга. Эта книга отличается тем, что у нее несколько концепций. Некоторые посчитают ее трудной, если подсознательно ищут книгу с одним «сердцем». Я не приношу извинений: это не ослабляет логики книги, наоборот, обогащает ее. Чтобы полностью понять материал, изложенный в книге, может быть, вам придется прочитать ее два или даже три раза.

Одной из особенностей книги является более широкая трактовка концепции принятия решений в среде, характеризуемой геометрическими следствиями. Среда геометрического следствия – это среда, где количество, с которым вы должны работать сегодня, является функцией предыдущих результатов. Я думаю, что это особенность мира, в котором мы живем. Оптимальное f – это регулятор роста в такой среде, и побочные продукты оптимального f говорят о скорости роста в этой среде. Из книги вы узнаете, как определять оптимальное f и его побочные продукты для любой формы распределения. Это статистический инструмент, который применим к различным сферам бизнеса и науки. Надеюсь, вы попытаетесь использовать описанные инструменты, чтобы найти оптимальные f не только для рынков, но и для других сфер жизни.

Много лет торговое сообщество обсуждало концепцию управления деньгами. Однако в итоге управление деньгами характеризовалось пестрым набором правил, многие из которых некорректны. Я надеюсь, эта книга даст трейдерам нужную им точность в сфере управления капиталом.

Глава 1 Эмпирические методы

Эта глава является кратким изложением книги «Формулы управления портфелем». Цель главы – довести уровень знаний читателей, которые не знакомы с эмпирическими методами, до уровня знаний тех, кто уже знаком с ними.

Какой долей счета торговать?

Когда вы начинаете торговлю, то должны принять два

решения: какую позицию открыть, длинную или короткую, и каким количеством торговать. Решение о количестве всегда зависит от баланса на вашем счете. При счете в 10 000 долл. приобретение 100 контрактов на золото будет слишком рискованным. Если на вашем счету 10 млн долл., разве не очевидно, что приобретение одного контракта на золото почти никак не отразится на счете? Признаем мы это или нет, решение относительно того, каким количеством контрактов в определенный момент времени торговать, зависит от уровня баланса на счете.

Если мы будем использовать определенную долю счета в каждой сделке (другими словами, когда будем торговать количеством, соотносимым с размером нашего счета), то добьемся более быстрого прироста капитала.

Количество зависит не только от баланса на нашем счете, а является также функцией некоторых других переменных: нашего предполагаемого убытка в наихудшем случае в следующей сделке; скорости, с которой мы хотим, чтобы рос наш счет; зависимости от прошлых сделок. Доля счета, которую следует использовать для торговли, будет зависеть от многих переменных, и мы попытаемся собрать все эти переменные, включая уровень баланса счета, чтобы в итоге принять достаточно субъективное решение относительно того, каким числом контрактов или акций торговать.

Из этой главы вы узнаете, как принимать математически верные решения в отношении количества и не основывать свои действия на субъективном и, возможно, ошибочном суждении. Вы увидите, что если использовать неправильное количество, то придется заплатить чрезмерную цену, и эта цена будет расти с течением времени.

Большинство трейдеров не уделяют должного внимания проблеме выбора количества. Они считают, что этот выбор в значительной мере случаен и не имеет значения, какое количество использовать, важно только то, насколько они правы в отношении направления торговли. Более того, возникает ошибочное впечатление, что существует прямая зависимость между тем, сколько контрактов открывать, и тем, сколько можно выиграть или проиграть с течением времени.

Это неверно. Как мы увидим, отношение между потенциальным выигрышем и количеством не выражается прямой линией. Это – кривая. У нее есть пик, и именно на этом пике мы достигнем максимального потенциального выигрыша. Из этой книги вы узнаете, что решение о количестве, используемом в определенной сделке, так же важно, как и решение о длинной или короткой позиции. Мы опровергнем ложное мнение большинства трейдеров и покажем, что уровень счета зависит от правильного выбора количества контрактов не в меньшей степени, чем от правильного направления торговли. Не вы управляете ценами, и не от вас зависит, будет следующая сделка прибыльной или убыточной. Однако количество контрактов, которые вы открываете, зависит только от вас. Поэтому ваши ресурсы будут использованы с большей отдачей, если сконцентрироваться на верном количестве.

При любой сделке вы хотя бы приблизительно предполагаете, каким может быть убыток наихудшего случая. Можно даже не осознавать этого, но, когда вы начинаете торговлю, у вас есть ощущение, пусть даже подсознательное, что может произойти в худшем случае. Восприятие худшего случая вместе с уровнем баланса на вашем счете формируют решение о том, каким количеством контрактов торговать.

Таким образом, мы можем сказать, что существует некий делитель (число между 0 и 1) наибольшего предполагаемого убытка для определения количества контрактов. Например, если при счете в 50 000 долл. вы ожидаете в худшем случае убыток 5000 долл. на контракт и открыто 5 контрактов, то делителем будет 0,5, так как:

50 000 / (5000 / 0,5) = 5.

Другими словами, у вас есть 5 контрактов на счет в 50 000 долл., т. е. 1 контракт на каждые 10 000 долл. баланса. Вы ожидаете в худшем случае потерять 5000 долл. на контракт, таким образом, вашим делителем будет 0,5. Если бы у вас был 1 контракт, то делителем в этом случае было бы число 0,1, так как:

50 000 / (5000 / 0,1) = 1.

Этот делитель мы назовем переменной f. Таким образом, сознательно или подсознательно при любой сделке вы выбираете значение f, когда решаете, сколько контрактов или акций приобрести.

Теперь посмотрите на рис. 1.1. На нем представлена игра, где у вас 50 %-ный шанс выиграть 2 долл. против 50 %-ного шанса потерять 1 долл. в каждой игре. Отметьте, что здесь оптимальное f = 0,25, когда TWR = 10,55 после 40 ставок (20 последовательностей +2, –1). TWR – это относительный конечный капитал (Terminal Wealth Relative), он представляет доход по вашим ставкам в виде множителя. TWR = 10,55 означает, что вы увеличили бы в 10,55 раза ваш первоначальный счет или получили бы 955 % прибыли. Теперь посмотрите, что произойдет, если вы отклонитесь всего лишь на 0,15 от оптимального f = 0,25. Когда f равно 0,1 или 0,4, ваш TWR = 4,66. Это не составляет даже половины того, что будет при 0,25, причем вы отошли только на 0,15 от оптимального значения и сделали только 40 ставок!

О какой сумме мы говорим? При f = 0,1 вы ставите 1 долл. на каждые 10 долл. на счете. При f = 0,4 вы ставите 1 долл. на каждые 2,50 долл. на счете. В обоих случаях получаем TWR = 4,66. При f = 0,25 вы ставите 1 долл. на каждые 4 долл. на счете. Отметьте, что если вы ставите 1 долл. на каждые 4 долл. на счете, то выигрываете в два раза больше после 40 ставок, чем в случае ставки 1 долл. на каждые 2,50 долл. на вашем счете! Очевидно, что не стоит излишне увеличивать ставку. При ставке 1 долл. на каждые 2,50 долл. вы получите тот же результат, что и в случае ставки четверти этой суммы, т. е. 1 долл. на каждые 10 долл. на вашем счете! Отметьте, что в игре 50/50 вы выигрываете вдвое больше, чем проигрываете, а при f = 0,5 вы «остаетесь при своих»! При f > 0,5 вы проигрываете в этой игре, и теперь окончательное разорение – просто вопрос времени! Другими словами, если f (в игре 50/50, +2, –1) на 0,25 отклоняется от оптимального, вы будете банкротом с вероятностью, которая приближается к определенности, если продолжать играть достаточно долго. Таким образом, нашей целью будет объективный поиск пика кривой f для данной торговой системы.

Рис. 1.1. 20 последовательностей +2, –1

В этой книге определенные концепции освещаются с позиции азартных игр. Основное отличие азартной игры от спекуляции заключается в том, что азартная игра создает риск (и отсюда многие настроены против нее), в то время как спекуляция является переходом уже существующего риска (предположительного) от одной стороны к другой. Иллюстрации азартных игр используются для наглядного показа излагаемых концепций. Математика управления капиталом и принципы, используемые в торговле и азартных играх, довольно похожи. Основная разница состоит в том, что в математике азартных игр мы обычно имеем дело с распределением Бернулли (только два возможных исхода), в то время как в торговле сталкиваемся со всем распределением результатов, которые только могут быть в реальной сделке.

Основные концепции

Вероятность задается числом от 0 и 1, которое определяет, насколько вероятен результат, где 0 – это полное отсутствие вероятности происхождения определенного события, а 1 означает, что рассматриваемое событие определенно произойдет. Процесс независимых испытаний (отбор с замещением) – это последовательность результатов, где значение вероятности постоянно от одного события к другому. Бросок

монеты является примером такого процесса. Каждый бросок имеет вероятность 50/50 независимо от результата предыдущего броска. Даже если последние 5 раз выпадал орел, вероятность того, что при следующем броске выпадет орел, все равно не изменится и составит 0,5.

Другой тип случайного процесса характеризуется тем, что результат предыдущих событий влияет на значение вероятности, и, таким образом, значение вероятности непостоянно от одного события к другому. Эти виды событий называются процессами зависимых испытаний (отбор без замещения). Игра «21 очко» является примером такого процесса. После того как вытаскивают карту, состав колоды изменяется. Допустим, что новая колода перемешивается и одна карта удалена, скажем бубновый туз. До удаления этой карты вероятность вытянуть туза была 4/52, или 0,07692307692. Теперь, когда туза вытащили из колоды и не вернули обратно, вероятность вытянуть туза при следующем ходе составляет 3/51, или 0,05882352941.

Различие между независимыми и зависимыми испытаниями состоит в том, что вероятность или фиксирована (независимые попытки), или меняется (зависимые попытки) от одного события к другому в зависимости от предыдущих результатов. Фактически это и есть единственное различие.

Серийный тест

Когда в случае с колодой карт мы проводим отбор без замещения, можно путем проверки определить, существует ли зависимость. Для определенных событий (таких как поток прибыли и убытков по сделкам), где зависимость не может быть определена путем проверки, мы будем использовать серийный тест. Серийный тест подскажет нам, имеет ли наша система больше (или меньше) периодов последовательных выигрышей и проигрышей, чем случайное распределение.

Цель серийного теста – найти счет Z для периодов выигрышей и проигрышей в системной торговле. Счет Z означает, на сколько стандартных отклонений вы удалены от среднего значения распределения. Таким образом, счет Z = 2,00 означает, что вы на 2 стандартных отклонения удалились от среднего значения (ожидание случайного распределения периодов выигрышей и проигрышей).

Счет Z – это просто число стандартных отклонений, на которое данные отстоят от среднего значения нормального распределения вероятности. Например, счет Z = 1,00 означает, что данные, которые вы тестируете, отклонены на 1 стандартное отклонение от среднего значения.

Счет Z затем переводится в доверительную границу, которая иногда также называется степенью достоверности. Площадь под кривой нормального распределения вероятности шириной в 1 стандартное отклонение с каждой стороны от среднего значения равна 68 % всей площади под этой кривой. Преобразуем счет Z в доверительную границу. Связь счета Z и доверительной границы следующая: счет Z является числом стандартных отклонений от среднего значения, а доверительная граница – долей площади под кривой, заполненной при таком числе стандартных отклонений.

При минимальном количестве 30 закрытых сделок мы можем рассчитать счет Z. Попытаемся узнать, сколько периодов выигрышей (проигрышей) можно ожидать от данной системы? Соответствуют ли периоды выигрыша (проигрыша) тестируемой системы ожидаемым? Если нет, существует ли достаточно высокая доверительная граница, чтобы допустить, что между сделками существует зависимость, т. е. зависит ли результат текущей сделки от результата предыдущих сделок?

Ниже приведено уравнение серийного теста. Счет Z для торговой системы равен:

Z = (N * (R – 0,5) – X) / ((X * (X – N)) / (N – 1)) ^ (1/2), (1.1)

где N – общее число сделок в последовательности;

R – общее число серий выигрышных или проигрышных сделок;

X = 2 * W * L;

W – общее число выигрышных сделок в последовательности;

L – общее число проигрышных сделок в последовательности.

Этот расчет можно провести следующим образом.

1. Возьмите данные по вашим сделкам.

а) Общее число сделок, т. е. N.

б) Общее число выигрышных сделок и общее число проигрышных сделок.

Теперь рассчитайте Х:

Х = 2 * (Общее число выигрышей) * (Общее число проигрышей).

в) Общее число серий в последовательности, т. е. R.

2. Предположим, что произошли следующие сделки:

– 3, +2, +7, –4, +1, –1, +1, +6, –1, 0, –2, +1.

Чистая прибыль составляет +7. Общее число сделок 12, поэтому N = 12. Теперь нас интересует не то, насколько велики выигрыши и проигрыши, а то, сколько было выигрышей и проигрышей, а также серий. Поэтому мы можем перевести наш ряд сделок в простую последовательность плюсов и минусов. Отметьте, что сделка с нулевой прибылью считается проигрышем. Таким образом:

Как видим, последовательность состоит из 6 прибылей и 6 убытков, поэтому Х = 2 * 6 * 6 = 72. В последовательности есть 8 серий, поэтому R = 8. Мы называем серией каждое изменение символа, которое встречается при чтении последовательности слева направо (т. е. хронологически).

1. Последовательность будет выглядеть следующим образом:

2. Вычислите значение выражения:

N * (R – 0,5) – X.

Для нашего примера:

= 12 * (8–0,5) – 72 = 12 * 7,5 – 72 = 90–72 = 18.

3. Вычислите значение выражения:

(X * (X – N)) / (N – 1).

Для нашего примера:

= (72 * (72–12)) / (12 – 1) = (72 * 60) / 11 = 4320 / 11 = 392,727272.

4. Возьмите квадратный корень числа, полученного в п. 3. В нашем примере:

392,727272 ^ (1/2) = 19,81734777.

5. Разделите ответ из п. 2 на ответ из п. 4. Это и есть счет Z. В нашем примере:

18 / 19,81734777 = 0,9082951063.

6. Теперь преобразуйте счет Z в доверительную границу. Распределение периодов является биномиальным. Однако, когда рассматриваются 30 или больше сделок, мы можем использовать нормальное распределение как близкое к биномиальному. Таким образом, если вы используете 30 или более сделок, вы просто можете преобразовать ваш счет Z в доверительную границу, основываясь на уравнении (3.22) для нормального распределения.

Серийный тест подскажет вам, содержит ли ваша последовательность выигрышей и проигрышей больше или меньше полос (серий выигрышей или проигрышей), чем можно было бы ожидать от действительно случайной последовательности, в которой нет зависимости между испытаниями. Так как в нашем случае мы находимся на уровне относительно низкой доверительной границы, то можно допустить, что между сделками в этой последовательности нет зависимости.

Если счет Z имеет отрицательное значение, то при расчете доверительной границы просто возьмите его абсолютное значение. Отрицательный счет Z говорит о положительной зависимости, т. е. полос меньше, чем при нормальном распределении вероятности, и, следовательно, выигрыши порождают выигрыши, а проигрыши порождают проигрыши. Положительный счет Z говорит об отрицательной зависимости, т. е. полос больше, чем при нормальном распределении вероятности, и, следовательно, выигрыши порождают проигрыши, а проигрыши порождают выигрыши.

Какой уровень доверительной границы считать приемлемым? Статистики, как правило, рекомендуют доверительную границу не менее 90 %. Некоторые рекомендуют доверительную границу свыше 99 %, чтобы быть уверенным, что зависимость существует, другие рекомендуют менее строгий минимум 95,45 % (2 стандартных отклонения).

Очень редко система демонстрирует доверительную границу выше 95,45 %, чаще всего она менее 90 %. Даже если вы найдете систему с доверительной границей от 90 до 95,45, это не будет золотым самородком. Чтобы убедиться в зависимости,

на которой можно хорошо заработать, вам нужно как минимум 95,45 %.

Пока зависимость находится на приемлемой доверительной границе, вы можете изменить систему, чтобы улучшить торговые решения, даже если не понимаете основной причины зависимости. Если вы узнаете причину, то сможете оценить, когда зависимость действовала, а когда нет и когда можно ожидать изменения степени зависимости.

До настоящего момента мы смотрели на зависимость только с точки зрения того, была ли последняя сделка выигрышем или проигрышем. Теперь мы попытаемся определить, есть ли в последовательности выигрышей и проигрышей зависимость или нет. Серийный тест на наличие зависимости автоматически принимает в расчет процент выигрышей и проигрышей. Однако серийный тест по периодам выигрышей и проигрышей учитывает последовательность выигрышей и проигрышей, но не их размер. Для того чтобы получить истинную независимость, не только сама последовательность выигрышей и проигрышей должна быть независимой, но и размеры выигрышей и проигрышей в последовательности также должны быть независимыми. Выигрыши и проигрыши могут быть независимыми, однако их размеры могут зависеть от результатов предыдущей сделки (или наоборот). Возможным решением является проведение серийного теста только с выигрышными сделками. При этом полосы выигрышей следует разделить на длинные (по сравнению со средним значением распределения вероятности) и менее длинные, и только затем искать зависимость между размером выигрышных сделок. Потом необходимо провести ту же процедуру с проигрышными сделками.

Корреляция

Есть другой и, может быть, лучший способ определения зависимости между размерами выигрышей и проигрышей. Этот метод позволяет рассмотреть размеры выигрышей и проигрышей с совершенно другой стороны, и, когда он используется вместе с серийным тестом, взаимосвязь сделок измеряется с большей глубиной. Для количественной оценки зависимости или независимости данный метод использует коэффициент линейной корреляции r, который иногда называют пирсоновским r.

Посмотрите на рис. 1.2. На нем изображены две абсолютно коррелированные последовательности. Мы называем это положительной корреляцией.

Рис. 1.2. Положительная корреляция (r = +1,00)

Рис. 1.3. Отрицательная корреляция (r = –1,00)

Теперь посмотрите на рис. 1.3. Он показывает две последовательности, которые находятся точно в противофазе. Когда одна линия идет вверх, другая следует вниз (и наоборот). Мы называем это отрицательной корреляцией.

Формула для коэффициента линейной корреляции r двух последовательностей Х и Y такова (черта над переменной обозначает среднее арифметическое значение):

Расчет следует производить следующим образом.

1. Вычислите среднее Х и Y (т. е. 

и

).

2. Для каждого периода найдите разность между Х и

, а также Y и

.

3. Теперь рассчитайте числитель. С этой целью для каждого периода перемножьте ответы из шага 2, другими словами, для каждого периода умножьте разность между Х и 

на разность между Y и

.

4. Сложите результаты, полученные в шаге 3, за все периоды. Это и есть числитель.

5. Теперь найдите знаменатель. Для этого возьмите результаты шага 2 для каждого периода как для разностей Х, так и для разностей Y и возведите их в квадрат (теперь они будут положительными значениями).

6. Сложите возведенные в квадрат разности Х за все периоды. Проделайте ту же операцию с возведенными в квадрат разностями Y.

7. Извлеките квадратный корень из суммы возведенных в квадрат разностей Х, которые найдены в шаге 6. Теперь проделайте то же с Y, взяв квадратный корень суммы возведенных в квадрат разностей Y.

8. Умножьте два результата, которые вы нашли в шаге 7, т. е. умножьте квадратный корень суммы возведенных в квадрат разностей Х на квадратный корень суммы возведенных в квадрат разностей Y. Это и есть знаменатель.

9. Разделите числитель, который вы нашли в шаге 4, на знаменатель, который вы нашли в шаге 8. Это и будет коэффициент линейной корреляции r.

Значение r всегда будет между +1,00 и –1,00. Значение 0 указывает, что корреляции нет.

Теперь посмотрите на рис. 1.4. Он представляет следующую последовательность из 21 сделки:

1, 2, 1, –1, 3, 2, –1, –2, –3, 1, –2, 3, 1, 1, 2, 3, 3, –1, 2, –1, 3.

Чтобы понять, есть ли какая-либо зависимость между предыдущей и текущей сделкой, мы можем использовать коэффициент линейной корреляции. Для значений Х в формуле для r возьмем P&L по каждой сделке. Для значений Y в формуле для r возьмем ту же самую последовательность P&L, только смещенную на одну сделку. Другими словами, значение Y – это предыдущее значение Х (рис. 1.5).

Рис. 1.4. Отдельные результаты 21 сделки

Рис. 1.5. Отдельные результаты 21 сделки, сдвинутые на 1 сделку

Средние значения различаются, потому что вы усредняете только те X и Y, которые частично перекрывают друг друга, поэтому последнее значение Y (3) не вносит вклад в

, а первое значение Х (1) не вносит вклад в

.

Числитель является суммой всех значений из столбца Е (0,8). Чтобы найти знаменатель, мы извлечем квадратный корень из итогового значения столбца F и получим 8,555699, потом извлечем квадратный корень из итогового значения столбца G и получим 8,258329, затем перемножим их, что даст в результате 70,65578. Теперь разделим числитель 0,8 на знаменатель 70,65578 и получим 0,011322. Это наш коэффициент линейной корреляции r. В данном случае коэффициент линейной корреляции 0,011322 едва ли о чем-то говорит, но для многих торговых систем он может достигать больших значений. Высокая положительная корреляция (по крайней мере 0,25) говорит о том, что большие выигрыши редко сменяются большими проигрышами, и наоборот. Отрицательные значения коэффициента корреляции (между –0,25 и –0,30) подразумевают, что после больших проигрышей следуют большие выигрыши, и наоборот. Для заданного количества сделок с помощью метода, известного как преобразование Z Фишера, коэффициент корреляции можно преобразовать в доверительный уровень. Эта тема рассматривается в приложении C. Отрицательную корреляцию так же, как и положительную, можно использовать в своих интересах. Например, если обнаружена отрицательная корреляция и система показала большой проигрыш, то в следующей сделке можно ожидать большого выигрыша и, таким образом, открыть больше контрактов, чем обычно. Если и эта сделка принесет убыток, то он не должен быть очень большим (из-за отрицательной корреляции).

Наконец, при определении зависимости вы должны провести тесты по разным сегментам данных. Для этого разбейте ваши данные на две или более частей. Если вы увидите зависимость в первой части, тогда посмотрите, существует ли эта зависимость во второй части и т. д. Это поможет исключить случаи, где появляется кажущаяся зависимость, но фактически ее нет.

Использование этих двух инструментов (серийный тест и коэффициент линейной корреляции) поможет ответить на многие вопросы, однако только в том случае, если у вас есть достаточно высокая доверительная граница и/или достаточно высокий коэффициент корреляции. Большую часть времени эти инструменты вряд ли будут вам полезны, так как слишком часто во фьючерсных торговых системах зависимость отсутствует. Если вы

получите данные, указывающие на зависимость, то следует обязательно воспользоваться этим обстоятельством в торговле, вернуться и включить новое правило в торговую логику, чтобы использовать зависимость. Другими словами, вы должны вернуться и изменить логику торговой системы, чтобы она учитывала эту зависимость (минуя определенные сделки или разбивая систему на две различных системы: например, одна – для сделок после выигрышей, а другая – для сделок после проигрышей). Таким образом, можно утверждать, что, если в сделках появляется зависимость, вы не максимизировали систему. Зависимость, если она найдена, надо использовать (для этого измените правила системы), пока она не исчезнет. Первой ступенью в управлении деньгами является использование и, следовательно, удаление любой зависимости в сделках. Чтобы узнать о зависимости больше, прочитайте приложение C «Подробнее о зависимости: разворотные точки и тест длины фазы».

Мы рассмотрели зависимость в отношении торговых прибылей и убытков. Можно также поискать зависимость между индикатором и последующей сделкой или между любыми двумя переменными. Чтобы узнать больше об этих концепциях, посмотрите приложение B, а именно раздел «Биномиальное распределение», посвященный статистической оценке торговой системы.

Обычные ошибки в отношении зависимости

Будучи трейдерами, мы должны исходить из того, что в большинстве рыночных систем зависимости не существует, т. е. при торговле в данной рыночной системе мы находимся в среде, где результат следующей сделки не предсказуем на основе результата (результатов) предыдущих сделок. Это не значит, что в рыночных системах никогда не бывает зависимости между сделками. Речь идет о том, что нам следует действовать так, будто зависимости не существует, пока не будет убедительных доказательств обратного. Это произойдет в случае, если счет Z и коэффициент линейной корреляции указывают на зависимость на рынке даже с оптимизированными параметрами системы. Если мы посчитаем, что зависимость есть, когда нет убедительных доказательств, то обманем сами себя и не получим хороших торговых результатов. Даже если система показала зависимость при доверительной границе 95 % для всех значений параметра, это недостаточно высокая доверительная граница, чтобы с уверенностью говорить, что на определенном рынке или в определенной системе зависимость между сделками существует.

Первая ошибка заключается в том, что мы можем отвергнуть гипотезу, которую следует принять. Если, однако, мы принимаем гипотезу, когда ее следует отвергнуть, то совершаем другую ошибку. Не зная заранее, верна или нет гипотеза, мы должны решить, какую цену мы готовы заплатить за первую ошибку, а какую – за вторую. Иногда одна ошибка серьезнее, чем другая, и в таких случаях мы должны решить, принимать или отвергать неподтвержденную гипотезу, выбирая меньшее из двух зол.

Допустим, вы хотите использовать определенную торговую систему, но не уверены, будет ли она работать при торговле в режиме реального времени. Здесь гипотеза состоит в том, что торговая система будет хорошо работать в режиме реального времени. Вы решаете принять гипотезу и торговать с помощью этой системы. Если гипотеза не подтвердится, то вы совершите вторую ошибку и заплатите за нее проигрышами. С другой стороны, если вы решите не торговать по системе, которая на самом деле окажется прибыльной, то совершите первую из рассмотренных нами ошибок. В этом случае цена, которую вы заплатите, – это упущенные прибыли. Что лучше? Ясно, что упущенная прибыль. Хотя из этого примера можно сделать вывод, что если вы собираетесь торговать по системе в режиме реального времени, то ей, конечно, надо быть прибыльной на прошлых данных, но существует и другой мотив для использования этого примера. Если мы допустим, что зависимость есть, когда фактически ее нет, то совершим вторую ошибку. Цена, которую мы заплатим, – реальный убыток. Однако если мы допустим, что зависимости нет, а она на самом деле есть, то совершим первую ошибку и упустим прибыль. Согласитесь, что лучше упустить прибыль, чем понести реальные убытки. Поэтому, пока не будет убедительного доказательства зависимости, вам лучше исходить из того, что прибыли и убытки в торговле (неважно, по механической системе или нет) не зависят от предыдущих результатов. Здесь, как может показаться, существует некий парадокс. Во-первых, если существует зависимость в сделках, то система подоптимальна[1 - Система подоптимальна, если ее можно оптимизировать. – Прим. ред.]. Однако о зависимости никогда нельзя говорить с полной уверенностью. Если мы будем действовать, будто зависимость есть (когда фактически ее нет), мы совершим более дорогостоящую ошибку, чем если бы действовали, будто зависимости нет (когда фактически она есть). Допустим, что в системе с историей из 60 сделок на основе серийного теста обнаружена зависимость с доверительным уровнем 95 %. Мы хотим, чтобы наша система была оптимальной, поэтому соответствующим образом изменяем ее правила, чтобы использовать замеченную зависимость. Предположим, после этого у нас остается 40 сделок и зависимости больше нет, в результате мы приходим к выводу, что правила системы оптимальны. Теперь при 40 сделках мы получаем более высокое оптимальное f, чем при 60 (более подробно об оптимальном f далее в этой главе). Если вы будете торговать по этой системе с новыми правилами, использующими зависимость, применяя более высокое сопутствующее оптимальное f, а зависимости на самом деле нет, то результат будет ближе к 60 сделкам, чем к 40 сделкам, в которых были показаны лучшие результаты. Таким образом, f, которое вы выбрали, будет сдвинуто вправо, что выразится в потерях, которые вы понесете из-за того, что предположили зависимость. Если зависимость присутствует, тогда вы будете ближе к пику кривой f, допускающей, что зависимость существует. Если бы вы решили, что зависимости нет, когда фактически она есть, то вы были бы слева от пика кривой f и ваша система была бы подоптимальной (но вы потеряете меньше, чем если бы были справа от пика).

Короче говоря, ищите зависимость. Если она обнаружится с достаточно высокой вероятностью, тогда измените правила системы, чтобы использовать эту зависимость. В противном случае, при отсутствии убедительного статистического доказательства зависимости, считайте, что ее не существует (и вы понесете меньшие потери, если фактически зависимость все же существует).

Математическое ожидание

Таким образом, вам лучше не торговать, пока не будет убедительных доказательств того, что рыночная система, по которой вы собираетесь торговать, прибыльна, т. е. пока вы не будете уверены, что рыночная система имеет положительное математическое ожидание.

Математическое ожидание является суммой, которую вы можете заработать или проиграть в среднем по каждой ставке. На языке азартных игроков это иногда называется «преимуществом игрока» (если оно положительно для игрока) или «преимуществом казино» (если оно отрицательно для игрока):

где Р – вероятность выигрыша или проигрыша;

A – выигранная или проигранная сумма;

N – количество возможных результатов.

Математическое ожидание – это сумма

произведений каждого возможного выигрыша или проигрыша и вероятности такого выигрыша или проигрыша.

Давайте рассмотрим математическое ожидание игры, где у вас есть 50 % шансов выиграть 2 долл. и 50 % шансов проиграть 1 долл.:

Математическое ожидание = (0,5 * 2) + (0,5 * (–1)) = 1 + (–0,5) = 0,5.

В таком случае ваше математическое ожидание – выигрыш 50 центов в среднем за бросок.

Рассмотрим ставку на один номер в рулетке. В этом случае ваше математическое ожидание (МО) составит:

МО = ((1 / 38) * 35) + ((37 / 38) * (–1)) = (0,02631578947 * 35) + (0,9736842105 * (–1)) = (0,9210526315) + (–0,9736842105) = –0,05263157903.

Если вы поставите 1 долл. на номер в рулетке (американский двойной ноль), то можете ожидать проигрыш в среднем 5,26 цента на один круг. Если вы поставите 5 долл., то можете ожидать проигрыш в среднем 26,3 цента на один круг. Отметьте, что различные ставки имеют различное математическое ожидание в денежном выражении, но в процентном отношении от ставки оно всегда одинаково. Ожидание серии ставок является суммой значений ожиданий отдельных ставок. Поэтому если при игре в рулетку вы ставите 1 долл. на число, затем 10 долл. на число, затем 5 долл. на число, то вашим общим ожиданием будет:

МО = (–0,0526 * 1) + (–0,0526 * 10) + (–0,0526 * 5) = –0,0526 – 0,526 – 0,263 = –0,8416.

Таким образом, следует ожидать проигрыш 84,16 цента.

Этот принцип объясняет, почему системы, в которых пытаются изменить размер ставок в зависимости от того, сколько проигрышей или выигрышей было (допуская процесс независимых испытаний), считаются проигрышными. Сумма отрицательных ожиданий по ставкам всегда является отрицательным ожиданием!

В отношении управления капиталом очень важно понимать, что при игре с отрицательным ожиданием нет схемы управления деньгами, которая может сделать вас победителем. Если вы продолжаете играть, то независимо от способа управления деньгами вы проиграете весь ваш счет, каким бы большим он ни был в начале.

Эта аксиома верна не только для игры с отрицательным ожиданием, она истинна также для игры с равными шансами. Поэтому единственный случай, когда у вас есть шанс выиграть в долгосрочной перспективе, – это игра с положительным математическим ожиданием. Кроме того, вы можете выиграть только в двух случаях. Во-первых, при использовании ставки одинакового размера, во-вторых, используя ставки при f, меньшем значения f, соответствующего точке, в которой среднее геометрическое HPR становится равным или меньшим 1.

Эта аксиома истинна только при отсутствии верхнего поглощающего барьера. Например, азартный игрок, который начинает со 100 долл., прекращает играть, если его счет вырастает до 101 долл. Эта верхняя цель (101 долл.) называется поглощающим барьером. Допустим, игрок всегда ставит 1 долл. на красный цвет рулетки. Таким образом, у него небольшое отрицательное математическое ожидание. У игрока больше шансов увидеть, как его счет вырастет до 101 долл., и он должен будет прекратить играть, чем увидеть, как его счет уменьшится до нуля и он будет вынужден прекратить играть. Если он будет повторять этот процесс снова и снова, то окажется в отрицательном математическом ожидании. Если сыграть в такую игру только раз, то аксиома неизбежного банкротства, конечно же, неприменима. Различие между отрицательным и положительным ожиданием – это различие между жизнью и смертью. Не имеет значения, насколько положительное или насколько отрицательное ожидание; важно лишь то, положительное оно или отрицательное. Поэтому до рассмотрения вопросов управления капиталом вы должны найти игру с положительным ожиданием.

Если у вас такой игры нет, тогда никакое управление деньгами в мире не спасет вас[2 - Это правило применимо к торговле только в одной рыночной системе. Когда вы начинаете торговать более чем в одной рыночной системе, то вступаете в иную среду. Например, можно включить рыночную систему с отрицательным математическим ожиданием для одного из рынков и в действительности получить более высокое математическое ожидание, чем просто математическое ожидание группы до включения системы с отрицательным ожиданием! Более того, возможно, что математическое ожидание для группы с включением рыночной системы с отрицательным математическим ожиданием будет выше, чем математическое ожидание любой отдельной рыночной системы! В настоящее время мы рассматриваем только одну рыночную систему, и для того, чтобы методы управления деньгами работали, необходимо иметь положительное математическое ожидание.]. С другой стороны, если у вас есть положительное ожидание, то можно посредством правильного управления деньгами превратить его в функцию экспоненциального роста. Не имеет значения, насколько мало это положительное ожидание! Другими словами, не имеет значения, насколько прибыльна торговая система на основе 1 контракта. Если у вас есть система, которая выигрывает 10 долл. на контракт в одной сделке (после вычета комиссионных и проскальзывания), можно использовать методы управления капиталом таким образом, чтобы сделать ее более прибыльной, чем систему, которая показывает среднюю прибыль 1000 долл. за сделку (после вычета комиссионных и проскальзывания). Имеет значение не то, насколько прибыльна была ваша система, а то, насколько определенно можно сказать, что система покажет хотя бы минимальную прибыль в будущем. Поэтому наиболее важное приготовление, которое может сделать трейдер, – это убедиться в том, что система покажет положительное математическое ожидание в будущем.

Для того чтобы иметь положительное математическое ожидание в будущем, очень важно не ограничивать степени свободы вашей системы. Это достигается не только упразднением или уменьшением количества параметров, подлежащих оптимизации, но и путем сокращения как можно большего количества правил системы. Каждый параметр, который вы добавляете, каждое правило, которое вы вносите, каждое мельчайшее изменение, которое вы делаете в системе, сокращает число степеней свободы. В идеале вам нужно построить достаточно примитивную и простую систему, которая постоянно будет приносить небольшую прибыль почти на любом рынке. И снова важно, чтобы вы поняли: не имеет значения, насколько прибыльна система, пока она прибыльна. Деньги, которые вы заработаете в торговле, будут заработаны посредством эффективного управления деньгами. Торговая система – это просто средство, которое дает вам положительное математическое ожидание, чтобы можно было использовать управление деньгами. Системы, которые работают (по крайней мере показывают минимальную прибыль) только на одном или нескольких рынках или имеют различные правила или параметры для разных рынков, вероятнее всего, не будут работать в режиме реального времени достаточно долго. Проблема большинства технически ориентированных трейдеров состоит в том, что они тратят слишком много времени и усилий на оптимизацию различных правил и значений параметров торговой системы. Это дает совершенно противоположные результаты. Вместо того чтобы тратить силы и компьютерное время на увеличение прибылей торговой системы, направьте энергию на увеличение уровня надежности получения минимальной прибыли.

Реинвестировать торговые прибыли или нет

Давайте назовем следующую систему системой A. Она

состоит из двух сделок: первая выигрывает 50 %, вторая проигрывает 40 %. Если мы не реинвестируем прибыль, то выигрываем 10 %, если реинвестируем, та же последовательность сделок дает проигрыш 10 %.

Теперь давайте посмотрим на систему B (выигрыш 15 % и проигрыш 5 %), которая так же, как и система A, приносит 10 % за две сделки при отсутствии реинвестирования. Но посмотрите на результаты системы B при реинвестировании: в отличие от системы A она зарабатывает деньги.

Важно понимать, что при торговле с реинвестированием выигрышная система может превратиться в проигрышную систему, но не наоборот! Выигрышная система становится проигрышной при торговле с реинвестированием, если доходы недостаточно последовательны.

Изменение порядка или последовательности сделок не влияет на окончательный результат. Это не только верно при отсутствии реинвестирования, но и при реинвестировании (хотя многие ошибочно полагают, что это не так).

Очевидно, что последовательность сделок не влияет на окончательный результат, не важно, используем мы реинвестирование или нет. Одним из плюсов при торговле на основе реинвестирования является то, что проигрыши обычно сглаживаются. Когда система входит в период проигрышей, за каждой проигрышной сделкой следует сделка с меньшим количеством контрактов.

На первый взгляд кажется, что лучше торговать без реинвестирования, так как в этом случае вероятность выигрыша больше. Однако это неправильное утверждение, так как в реальной торговле мы не забираем все прибыли и не покрываем все наши убытки, добавляя средства на счет. Более того, природа инвестирования или торговли основана на смешивании исходных и полученных в результате торговли средств. Если мы не производим этого смешивания (как в случае отсутствия реинвестирования), то не можем надеяться на значительное увеличение капитала в будущем независимо от того, насколько успешна наша торговля. Именно реинвестирование превращает линейную функцию роста счета в геометрическую.

Если система достаточно эффективна, то прибыли, полученные на основе реинвестирования, будут намного больше прибылей, полученных без реинвестирования, и этот разрыв станет увеличиваться с течением времени. Если у вас есть система, которая выигрывает на рынке, то нет смысла торговать в ней любым другим способом, нежели увеличивать сумму ставки при увеличении счета.

Измерение степени пригодности системы для реинвестирования посредством среднего геометрического

До настоящего момента мы видели, как систему можно разрушить благодаря отсутствию стабильности от сделки к сделке. Не означает ли это, что мы должны прекратить торговлю и положить деньги в банк?

Давайте вернемся к системе A и добавим две прибыльных сделки, по 1 пункту каждая.

В системе B добавим две убыточных сделки, по 1 пункту каждая.

Теперь, если мы действительно стремимся к последовательности, рассмотрим банковский депозит – абсолютно стабильный инструмент (по сравнению с торговлей), выплачивающий 1 пункт за определенный период. Назовем эту серию сделок системой C.

Наша цель – максимизировать прибыли при торговле с реинвестированием. С этой точки зрения наша лучшая реинвестиционная последовательность имеет место при использовании системы B. Как выбрать наилучшую систему при наличии информации только о торговле без реинвестирования? По проценту выигрышных сделок? По общей сумме заработка? По средней сделке? Ответом на эти вопросы будет «нет», так как, ответив «да», мы должны торговать по системе A (и именно это решение примет большинство фьючерсных трейдеров). Что если принять решение исходя из наибольшей стабильности (т. е. исходя из наибольшего отношения средняя сделка/стандартное отклонение или самого низкого стандартного отклонения)? Как насчет самого высокого отношения риск/выигрыш или самого низкого проигрыша? Это тоже не поможет нам с правильным ответом. Если мы будем выбирать систему по этим признакам, то лучше положить деньги в банк и забыть о торговле.

Система B обладает хорошим сочетанием прибыльности и стабильности. Системы A и C не обладают этими качествами. Вот почему система B работает лучше всего при торговле с реинвестированием. Каков наилучший способ измерения этого «хорошего сочетания»? Данную проблему можно решить с помощью среднего геометрического. Это просто корень N-й степени из относительного конечного капитала (TWR), где N является количеством периодов (сделок). TWR для этих рассматриваемых трех систем будет следующим:

Так как в каждой такой системе по четыре сделки, то, чтобы получить среднее геометрическое, возьмем корень четвертой степени из TWR:

где N – общее количество сделок;

HPR – прибыль за определенный период (единица плюс уровень дохода; например, HPR = 1,10 означает 10 %-ную прибыль за данный период, ставку или сделку);

TWR – количество долларов на конец серии периодов / ставок / сделок на доллар первоначальной инвестиции.

Далее представлен другой способ выражения этих переменных:

TWR = (Конечное состояние счета) / (Начальное состояние счета). (1.6)

Среднее геометрическое (G) равно вашему фактору роста за игру, или:

G = (Конечное состояние счета / Начальное состояние счета) ^ (1 / Количество игр). (1.7)

Как мы уже сказали, среднее геометрическое – это фактор роста вашего счета за игру. Система с наибольшим средним геометрическим является системой, которая принесет наибольшую прибыль, если торговать на основе реинвестирования доходов. Среднее геометрическое меньше единицы означает, что система будет терять деньги, если вы будете торговать на основе реинвестирования.

Эффективность инвестиций часто оценивается с точки зрения дисперсии доходов. Коэффициенты Шарпа, Трейнора, Дженсена, Вами и др., пытаются соотнести эффективность инвестирования с дисперсией. Среднее геометрическое можно рассматривать как одну из таких величин. Однако в отличие от других коэффициентов среднее геометрическое измеряет эффективность инвестирования по отношению к дисперсии в той же математической форме, в которой задается баланс вашего счета.

Уравнение (1.4) можно прокомментировать следующим образом. Если HPR = 0, то вы полностью выйдете из игры, так как все, что умножается на ноль, равно нулю. Любая крупная проигрышная сделка будет иметь самое неблагоприятное влияние на TWR, так как эта функция мультипликативна, а не аддитивна.

Как лучше всего реинвестировать

До этого момента речь шла о реинвестировании 100 % средств со счета. И хотя нам известно, что для максимизации потенциально прибыльной системы мы должны реинвестировать, использование в каждой сделке 100 % капитала вряд ли разумно.

Рассмотрим игру 50/50 с броском монеты. Предположим, вам платят 2 долл., если вы выигрываете, и вы теряете 1 долл., если проигрываете. Математическое ожидание составляет 0,5. Другими словами, следует ожидать выигрыша 50 центов в среднем за бросок. Это верно для первого броска и для всех последующих бросков при условии, что вы не увеличиваете сумму ставки. Но в процессе независимых испытаний именно это и следует делать. Когда вы выигрываете, то должны увеличивать ставку при каждом броске.

Допустим, вы начинаете игру с 1 долл., выигрываете

при первом броске и зарабатываете 2 долл. При следующем броске вы также ставите весь капитал (3 долл.), однако на этот раз проигрываете и теряете 3 долл. Вы проиграли первоначальную сумму в 1 долл. и 2 долл., которые ранее выиграли. Если вы выигрываете при последнем броске, то зарабатываете 6 долл., так как сделали 3 ставки по 1 долл. Дело в том, что если вы используете 100 % счета, то выйдете из игры, как только столкнетесь с проигрышем, что будет неизбежно. Если бы мы могли переиграть предыдущий сценарий и вы делали бы ставки без реинвестирования, то выиграли бы 2 долл. при первой ставке и проиграли 1 долл. при второй. Теперь ваша чистая прибыль 1 долл., а счет равен 2 долл.

Где-то между этими двумя сценариями находится оптимальный выбор ставок при положительном ожидании. Однако сначала мы должны рассмотреть оптимальную стратегию ставок для игры с отрицательным ожиданием. Когда вы знаете, что игра имеет отрицательное математическое ожидание, то лучшей ставкой будет ее отсутствие. Помните, что нет стратегии управления деньгами, которая может превратить проигрышную игру в выигрышную. Однако если вы должны сделать ставку в игре с отрицательным ожиданием, то наилучшей стратегией будет стратегия максимальной смелости. Другими словами, вам надо сделать как можно меньше ставок (в противоположность игре с положительным ожиданием, где следует ставить как можно чаще). Чем больше попыток, тем больше вероятность, что при отрицательном ожидании вы проиграете. Поэтому при отрицательном ожидании меньше возможности для проигрыша, если длина игры укорачивается (т. е. когда число попыток приближается к 1). Если вы играете в игру, где есть шанс 49 % выиграть 1 долл. и 51 % проиграть 1 долл., то лучше всего сделать только одну попытку. Чем больше ставок вы будете делать, тем больше вероятность, что вы проиграете (с вероятностью проигрыша, приближающейся к уверенности, когда игра приближается к бесконечности). Это не означает, что вы достигаете положительного ожидания при одной попытке, но вы по крайней мере минимизируете вероятность проигрыша, делая только одну попытку.

Теперь вернемся к игре с положительным ожиданием. Мы решили в начале этой дискуссии, что в любой сделке количество контрактов, которые открывает трейдер, определяется фактором f (число между 0 и 1), что представляет собой количество контрактов, зависящее как от предполагаемого проигрыша в следующей сделке, так и от общего баланса счета. Если вы знаете, что обладаете преимуществом при N ставках, но не знаете, какие из этих N будут выигрышами (и на какую сумму), а какие из них будут проигрышами (и на какую сумму), то лучше всего на большом отрезке времени рисковать одной и той же долей вашего счета. Этот метод, основанный на использовании фиксированной доли вашего счета, и является лучшей системой ставок. Если в ваших сделках есть зависимость, где выигрыши порождают выигрыши, а проигрыши порождают проигрыши, или наоборот, тогда все равно лучше ставить определенную долю вашего общего счета, но эта доля уже не будет фиксированной. В этом случае доля счета должна отражать действие зависимости (если вы не «отпугнули» зависимость от системы, создав системные правила для ее использования).

Подождите, скажете вы, разве не бесполезны все эти системы ставок? Разве они преодолевают преимущество казино? Они только отдаляют момент полного разорения! Это абсолютная правда для ситуации с отрицательным математическим ожиданием. Когда ожидание положительное, трейдер/азартный игрок стоит перед вопросом, как наилучшим образом использовать это положительное ожидание.

Торговля оптимальной фиксированной долей

Все, о чем мы говорили выше, подготовило основу для этого раздела. Мы теперь знаем, что, перед тем как обсуждать величину ставок на данном рынке или в системе, надо понять, есть ли у вас положительное математическое ожидание. Мы увидели, что так называемая «хорошая система» (когда математическое ожидание имеет положительное значение) фактически может быть не такой уж и хорошей при реинвестировании доходов, если реинвестировать слишком высокий процент выигрышей по отношению к разбросу результатов системы. Если в действительности есть положительное математическое ожидание, каким бы маленьким оно ни было, используйте его с максимальной отдачей. При независимых испытаниях это достигается посредством реинвестирования фиксированной доли вашего общего счета[3 - Для процесса зависимых испытаний, как и для процесса независимых испытаний, ставка части вашего общего счета максимально использует положительное математическое ожидание. Однако при зависимых испытаниях ставки будут меняться; точная доля каждой отдельной ставки будет определяться вероятностями и выигрышами по каждой отдельной ставке.].

Как нам найти это оптимальное f? В последние десятилетия азартными игроками использовалось множество систем, самая известная и точная из которых – система ставок Келли – является продолжением математической идеи, выдвинутой в начале 1956 г. Джоном Л. Келли-младшим[4 - Kelly, J. L., Jr. «A New Interpretation of Information Rate», Bell System Technical Journal, pp. 917–926, July 1956.].

Из критерия Келли следует, что мы должны использовать фиксированную долю счета (f), которая максимизирует функцию роста G(f):

G(f) = P * ln(1 + B * f) + (1 – P) * ln(1 – f), (1.8)

где f – оптимальная фиксированная доля;

Р – вероятность выигрышной ставки или сделки;

B – отношение выигранной суммы по выигрышной ставке к проигранной сумме по проигрышной ставке;

ln() – функция натурального логарифма.

Оказывается, что для систем с двумя возможными исходами это оптимальное f можно довольно легко найти с помощью формул Келли.

Формулы Келли

Начиная с конца 1940-х гг. инженеры компании Bell System работали над проблемой передачи данных по международным линиям. Проблема, стоящая перед ними, заключалась в том, что линии были подвержены неизбежному случайному «шуму», который мешал передаче данных. Инженерами компании было предложено несколько довольно оригинальных решений. Как это ни странно, наблюдается явное сходство между проблемой передачи данных и проблемой геометрического роста, которая относится к управлению деньгами в азартных играх (так как обе проблемы являются продуктом случайной среды). Так появилась первая формула Келли.

Первое уравнение выглядит следующим образом:

f = 2 * P – 1, (1.9, а)

или

f = P – Q, (1.9, б)

где f – оптимальная фиксированная доля;

Р – вероятность выигрышной ставки или сделки;

Q – вероятность проигрыша (1 – Р).

Обе формы уравнения (1.9) эквивалентны.

Уравнения (1.9, а) или (1.9, б) для оптимального f дадут правильный ответ при условии, что выигрыши и проигрыши будут одинаковы по величине. В качестве примера рассмотрим следующий поток ставок:

– 1, +1, +1, –1, +1, +1, +1, +1, –1.

Есть 10 ставок, 6 из них выигрышные, отсюда:

f = (0,6 * 2) – 1 = 1,2–1 = 0,2.

Если выигрыши и проигрыши не были бы одинакового размера, то эта формула не дала бы правильного ответа. Примером служит бросок монеты в игре 2:1, где все выигрыши – 2 единицы, а проигрыши – 1 единица. В этом случае формула Келли будет выглядеть следующим образом:

f = ((B + 1) * P – 1) / B, (1.10, а)

где f – оптимальная фиксированная доля;

Р – вероятность выигрышной ставки или сделки;

B

– отношение выигранной суммы по выигрышной ставке к проигранной сумме по проигрышной ставке.

В нашем примере с броском монеты в игре 2: 1:

f = ((2 + 1) * 0,5–1) / 2 = (3 * 0,5–1) / 2 = 0,5 / 2 = 0,25.

Эта формула даст правильный ответ для оптимального f при условии, что все выигрыши между собой всегда одинаковы и все проигрыши между собой всегда одинаковы. Если это не так, формула не даст правильного ответа.

Формулы Келли применимы только к результатам, которые имеют распределение Бернулли (распределение с двумя возможными исходами). Торговля, к сожалению, не так проста. Применение формул Келли к иному распределению будет ошибкой и не даст нам оптимального f. Более подробно о распределении Бернулли рассказано в приложении B.

Рассмотрим следующую последовательность ставок/сделок:

+9, +18, +7, +1, +10, –5, –3, –17, –7.

Так как это не распределение Бернулли (выигрыши и проигрыши различны), формула Келли не применима. Однако давайте все равно ее используем и посмотрим, что получится.

Так как 5 из 9 событий прибыльны, то Р = 0,555. Теперь давайте возьмем средние выигрыши и проигрыши и рассчитаем B (именно здесь многие трейдеры ошибаются). Средний выигрыш 9, а средний проигрыш 8, поэтому B = 1,125. Подставляя значения, получим:

f = ((1,125 + 1) * 0,555 – 1) / 1,125 = (2,125 * 0,555 – 1) / 1,125 = (1,179375 – 1) / 1,125 = 0,179375 / 1,125 = 0,159444444.

Таким образом, f = 0,16. Мы увидим ниже, что это не оптимальное f. Оптимальное f для этой последовательности сделок составляет 0,24. Используя формулу, когда выигрыши не имеют одинакового размера и/или проигрыши не имеют одинакового размера, мы делаем ошибку, и формула не дает оптимального f.

Отметьте, что числитель в этой формуле равен математическому ожиданию события с двумя возможными результатами. Поэтому мы можем сказать, что, пока все выигрыши имеют одинаковый размер и все проигрыши имеют одинаковый размер (не важно, будет ли сумма, которую можно выиграть, равна сумме, которую можно проиграть), оптимальное f составляет:

f = (Математическое ожидание) / B, (1.10, б)

где f – оптимальная фиксированная доля;

B – отношение суммы, выигранной по выигрышной ставке, к сумме, проигранной по проигрышной ставке.

Математическое ожидание определяется уравнением (1.3), но, так как мы имеем дело с распределением Бернулли, при использовании уравнения (1.10, б) должны убедиться, что у нас есть два возможных исхода.

Формулу (1.10, а) можно свести к следующей более простой формуле:

f = P – Q / B, (1.10, в)

где f – оптимальная фиксированная доля;

Р – вероятность выигрышной ставки или сделки;

Q – вероятность убытка (1 – Р).

Поиск оптимального f с помощью среднего геометрического

В реальной торговле размеры выигрышей и проигрышей будут постоянно меняться. Поэтому формулы Келли не могут дать нам правильного оптимального f.

Как корректно с математической точки зрения найти оптимальное f, которое позволит нам определить количество контрактов для торговли?

Попытаемся ответить на этот вопрос. Для начала мы должны изменить формулу для поиска HPR, включив в нее f:

HPR = 1 + f * (—Сделка / Наибольший проигрыш), (1.11)

где – Сделка – прибыль или убыток в этой сделке (с противоположным знаком, чтобы убыток стал положительным числом, а прибыль – отрицательным);

Наибольший проигрыш – наибольший убыток за сделку (это всегда отрицательное число).

TWR – это произведение всех HPR, а среднее геометрическое (G) – это корень N-й степени из TWR:

где – Сделка

– прибыль или убыток по сделке i (с противоположным знаком, чтобы убыток был положительным числом, а прибыль – отрицательным);

Наибольший проигрыш – результат сделки, которая дала наибольший убыток (это всегда отрицательное число);

N – общее количество сделок;

G – среднее геометрическое HPR.

Просмотрев значения f от 0,01 до 1, мы найдем f, которое даст наивысшее TWR. Это значение f позволит получить максимальную прибыль при торговле фиксированной долей. Мы можем также сказать, что оптимальное f позволяет получить наивысшее среднее геометрическое. Не имеет значения, что мы ищем: наивысшее TWR или среднее геометрическое, так как обе величины максимальны при одном и том же значении f.

Описанную выше процедуру достаточно легко осуществить с помощью компьютера, перебирая f от 0,01 до 1,00. Как только вы получите TWR, которое меньше предыдущего, то знайте, что f, относящееся к предыдущему TWR, является оптимальным f, поскольку графики TWR и среднего геометрического имеют один пик. Чтобы облегчить процесс поиска оптимального f в диапазоне от 0 до 1, можно использовать разные алгоритмы. Один из самых быстрых способов расчета оптимального f – это метод параболической интерполяции, который детально описан в книге «Формулы управления портфелем».

Итак, лучшей торговой системой является система с наивысшим средним геометрическим. Для расчета среднего геометрического необходимо знать f. Теперь давайте поэтапно опишем наши действия.

1. Возьмите историю сделок в данной рыночной системе.

2. Найдите оптимальное f, просмотрев различные значения f от 0 до 1. Оптимальное f соответствует наивысшему значению TWR.

3. После того как вы найдете f, возьмите корень N-й степени из TWR (N – общее количество сделок). Это и есть ваше среднее геометрическое для данной рыночной системы. Теперь можно использовать полученное среднее геометрическое, чтобы сравнивать эту систему с другими. Значение f подскажет вам, каким количеством контрактов торговать в данной рыночной системе.

После того как найдено f, его можно перевести в денежный эквивалент, разделив наибольший проигрыш на отрицательное оптимальное f. Например, если наибольший проигрыш равен 100 долл., а оптимальное f = 0,25, тогда –100 долл. / –0,25 = = 400 долл. Другими словами, следует ставить 1 единицу на каждые 400 долл. счета. Для простоты можно все рассчитать на основе единиц (например, одна 5-долларовая фишка, или один фьючерсный контракт, или 100 акций). Количество долларов, которое следует отвести под каждую единицу, можно рассчитать, разделив ваш наибольший убыток на отрицательное оптимальное f. Оптимальное f – это результат равновесия прибыльности системы (на основе 1 единицы) и ее риска (на основе 1 единицы). Многие думают, что оптимальная фиксированная доля – это процент счета, который отводится под ваши ставки. Это совершенно неверно. Должен быть еще один шаг. Оптимальное f само по себе не является процентом вашего счета, который отводится под торговлю: это – делитель наибольшего проигрыша. Частным этого деления является величина, на которую надо разделить общий счет, чтобы выяснить, сколько ставок сделать или сколько контрактов открыть на рынке.

Необходимо отметить, что залог под открытые позиции не имеет ничего общего с тем, какое математически оптимальное количество контрактов надо открывать. Залог не так важен, поскольку размеры отдельных прибылей и убытков не являются продуктом залоговых средств. Прибыли и убытки зависят от выигрыша и убытка в расчете на одну открытую единицу (один фьючерсный контракт). Для управления деньгами залог не имеет значения, так как размер убытка не ограничивается только залоговыми средствами.

Многие ошибочно полагают, что f является линейной функцией и чем большей суммой рисковать, тем больше можно выиграть, так как, по мнению сторонников

такого подхода, положительное математическое ожидание является зеркальным отражением отрицательного ожидания, т. е. если увеличение общего оборота в игре с отрицательным ожиданием приносит более быстрый проигрыш, то увеличение общего оборота в игре с положительным ожиданием принесет более быстрый выигрыш. Это неправильно. В некоторой точке в ситуации с положительным ожиданием дальнейшее увеличение общего оборота работает против вас. Эта точка является функцией как прибыльности системы, так и ее стабильности (т. е. ее средним геометрическим), так как вы реинвестируете прибыли обратно в систему. Когда два человека сталкиваются с одной и той же последовательностью благоприятных ставок или сделок и один использует оптимальное f, а другой – любую другую систему управления деньгами, математическим фактом является то, что отношение счета держащего пари на основе оптимального f к счету другого человека будет увеличиваться с течением времени со все более высокой вероятностью. Через бесконечно долгое время держащий пари на основе оптимального f будет иметь бесконечно большее состояние, чем его оппонент, использующий любую другую систему управления деньгами, с вероятностью, приближающейся к 1. Более того, если участник пари ставит своей целью достижение определенного капитала и стоит перед серией благоприятных ставок или сделок, то ожидаемое время достижения этой цели будет короче с оптимальным f, чем с любой другой системой ставок.

Давайте вернемся и рассмотрим последовательность ставок (сделок):

+9, +18, +7, +1, +10, –5, –3, –17, –7.

Мы уже знаем, что формула Келли неприменима к этой последовательности, так как величины выигрышей и проигрышей отличаются. Ранее в этой главе мы усреднили выигрыши и проигрыши и использовали эти средние значения в формуле Келли (так ошибочно поступают многие трейдеры). В результате мы получили значение f = 0,16. Было отмечено, что применение формулы Келли в данном случае некорректно и не дает нам оптимального f. Формула Келли работает только при постоянных выигрышах и проигрышах. Вы не можете усреднить торговые выигрыши и проигрыши и получить истинное оптимальное f, используя формулы Келли.

Наибольшее значение TWR при такой последовательности ставок (сделок) достигается при 0,24 (т. е. 1 долл. на каждые 71 долл. на счете). Это оптимальный геометрический рост, которого можно достичь при данной последовательности ставок (сделок) при торговле фиксированной долей. Давайте посмотрим, как меняется TWR при повторении этой последовательности ставок от 1 до 100 при f = 0,16 и f = 0,24.

Использование значения f, которое ошибочно получено из формулы Келли, дало только 37,5 % дохода, полученного при оптимальном f = 0,24 после 900 ставок или сделок (100 циклов из серий по 9 сделок). Другими словами, оптимальное f = 0,24, которое только на 0,08 отличается от 0,16 (смещено от оптимального на 50 %), принесло почти на 167 % прибыли больше, чем f = 0,16 за 900 ставок!

Давайте повторим эту последовательность сделок еще 11 раз, чтобы в общей сложности получить 999 сделок. Теперь TWR для f = 0,16 составляет 8563,302 (даже меньше, чем при f = 0,24 за 900 сделок), а TWR для f = 0,24 составляет 25 451,045. При 999 сделках эффективность при f = 0,16 составляет только 33,6 % от f = 0,24, т. е. прибыль при f = 0,24 на 197 % больше, чем при f = 0,16!

Как видите, использование оптимального f не дает большого преимущества на коротком временном отрезке, но с течением времени оптимальное f оказывает все большее влияние. Дело в том, что при торговле с оптимальным f надо дать программе время, а не ждать чуда на следующий день. Чем больше времени (т. е. ставок или сделок) проходит, тем больше становится разница между стратегией оптимального f и любой другой стратегией управления деньгами.

Средняя геометрическая сделка

Трейдеру может быть интересно рассчитать свою среднюю геометрическую сделку (среднюю прибыль, полученную на контракт за сделку), допуская, что прибыли реинвестируются и торговать можно дробными контрактами. Это и есть математическое ожидание, когда торговля ведется на основе фиксированной доли. В действительности это приблизительный доход системы за сделку при использовании фиксированной доли счета. (На самом деле средняя геометрическая сделка является математическим ожиданием в долларах на контракт за сделку. Вычитая из среднего геометрического единицу, вы получите математическое ожидание. Среднее геометрическое 1,025 соответствует математическому ожиданию в 2,5 % за сделку.) Многие трейдеры смотрят только на среднюю сделку рыночной системы, чтобы понять, стоит ли торговать по этой системе. Однако при принятии решения следует обращать внимание именно на среднюю геометрическую сделку (GAT):

GAT = G * (Наибольший проигрыш / —f), (1.14)

где G = Среднее геометрическое – 1;

f – оптимальная фиксированная доля.

(Разумеется, наибольший убыток всегда будет отрицательным числом.)

Допустим, что система имеет среднее геометрическое 1,017238, наибольший проигрыш составляет 8000 долл. и оптимальное f = 0,31. Наша геометрическая средняя сделка будет равна:

GAT = (1,017238 – 1) * (—$8 000 / –0,31) = 0,017238 * $25 806,45 = $444,85.

Почему необходимо знать оптимальное f вашей системы

График на рис. 1.6 еще раз демонстрирует важность использования оптимального f в торговле фиксированной долей. Вспомните f для игры с броском монеты 2:1 (рис. 1.1).

Давайте увеличим выигрыш с 2 до 5 единиц (рис. 1.6). В этом случае оптимальное f = 0,4, т. е. ставка в 1 долл. на каждые 2,50 долл. на счете. После 20 последовательностей +5, –1 (40 ставок) ваш счет в 2,50 долл. вырастет до 127,482 долл., и все благодаря оптимальному f. Теперь посмотрим, что произойдет, если вы ошибетесь с оптимальным f на 0,2. При значениях f = 0,6 и f = 0,2 вы не заработаете даже десятой части того, что заработаете при 0,4. Эта ситуация (50/50, 5: 1) имеет математическое ожидание (5 * 0,5) + (1 * (–0,5)) = 2, однако если вы будете делать ставки, используя значение f > 0,8, то потеряете деньги.

Здесь надо отметить два момента. Первый состоит в том, что когда мы обсуждаем TWR, то допускаем использование дробных контрактов. Например, вы можете торговать 5,4789 контракта, если именно это требуется в какой-либо момент. Расчет TWR допускает дробные контракты, чтобы его значение всегда было одинаково для данного набора торговых результатов вне зависимости от их последовательности. Вы можете усомниться в правильности такого подхода, поскольку при реальной торговле это невыполнимо. В реальной жизни вы не можете торговать дробными контрактами. Этот аргумент правильный. Однако мы оставим подобный расчет TWR, потому что таким образом мы представим средний TWR для всех возможных начальных счетов. Если вы хотите, чтобы размеры всех ставок были целыми числами, тогда становится важна величина начального счета. Однако если бы вы должны были усреднить TWR со всех значений возможных начальных счетов, используя только ставки в целых числах, то достигли бы того же значения TWR, которое мы рассчитали при дробных ставках. Поэтому значение TWR, которое рассчитано здесь, более реально, чем то, которое мы рассчитывали бы при ставках в целых числах, так как оно представляет огромное количество результатов с различными начальными счетами. Разумеется, чем выше баланс счета, тем ближе будут результаты торговли целыми и дробными

контрактами. Пределом здесь является счет с бесконечным капиталом, где ставка в целых числах и дробная ставка в точности равны.

Таким образом, чем ближе вы находитесь к оптимальному f, тем лучше. Также можно сказать, что чем больше счет, тем больше будет эффект от оптимального f. Так как оптимальное f позволяет счету расти с максимально возможной скоростью, мы можем заявить, что оптимальное f будет работать все лучше и лучше при увеличении вашего счета.

Рис. 1.6. 20 последовательностей +5, –1

Графики (рис. 1.1 и 1.6) имеют несколько других интересных особенностей. Надо сказать, что ни при какой другой фиксированной доле вы не заработаете больше денег, чем при оптимальном f. Другими словами, в предыдущем примере с игрой 5:1 не стоит ставить, например, 1 долл. на каждые 2 долл. на счете. Вы заработаете больше, если будете ставить 1 долл. на каждые 2,50 долл. на счете. Не стоит рисковать больше, чем позволяет оптимальное f, – это может дорого обойтись.

Очевидно, что чем больше капитализация счета, тем более точно вы сможете придерживаться оптимального f, так как сумма в долларах, требуемая под один контракт, составит меньший процент от общего баланса. Допустим, что оптимальное f для данной рыночной системы соответствует 1 контракту на каждые 5000 долл. на счете. Если счет равен 10 000 долл., то надо будет выиграть (или проиграть) 50 % до того момента, когда изменение количества контрактов для текущей торговли станет возможным. Сравните это со счетом в 500 000 долл., где надо будет регулировать количество контрактов после изменения баланса в 1 %. Ясно, что при большем счете можно лучше воспользоваться плюсами, предоставляемыми оптимальным f, чем при меньшем счете. Теоретически оптимальное f допускает, что вы можете торговать бесконечно делимыми частями, чего в реальной жизни не бывает, где наименьшим количеством, которым вы можете торговать, является один контракт. В асимптотическом смысле это не имеет значения. Но в реальной жизни со ставками в целых числах в торговую систему необходимо ввести такой вариант, который потребует столь малого процента баланса счета, насколько возможно, особенно для небольших счетов. Помните, что сумма, требуемая для открытия контракта, в реальной торговле больше первоначальных залоговых требований и суммы, отводимой под контракт оптимальным f.

Чем чаще вы сможете изменять размер позиций для соответствия оптимальному f, тем лучше, поэтому имеет смысл торговать на рынках с недорогими контрактами. Кукуруза может казаться не столь интересным рынком, как S&P. Однако для некоторых трейдеров рынок кукурузы может стать чрезвычайно волнующим, если они будут открывать на нем несколько сотен контрактов.

Трейдеры, торгующие акциями или форвардными контрактами (например, на рынке FOREX), имеют огромное преимущество. Так как следует рассчитывать оптимальное f из финансовых результатов (P&L) на основе 1 контракта (1 единицы), то надо сначала решить, какой будет 1 единица в акциях или в валюте. Например, трейдер с фондового рынка может выбрать в качестве 1 единицы 100 акций. Для определения оптимального f он будет использовать поток P&L, созданный торговлей 100 акциями. Если система торговли потребует использовать 2,39 контракта или единицы, то это будет выполнимо. Таким образом, имея возможность торговать дробной частью единицы, вы можете эффективнее воспользоваться преимуществом оптимального f. Таким же образом надо поступать и трейдерам с рынка FOREX, которые должны сначала решить, каким будет 1 контракт или 1 единица. Для трейдера с рынка FOREX 1 единицей может быть, например, 1 млн долл. США или 1 млн швейцарских франков.

Насколько может быть серьезен проигрыш

Здесь важно отметить, что проигрыш, который может произойти при торговле фиксированной долей (в процентах от вашего счета), исторически может быть таким же, как и f. Другими словами, если f = 0,55, то проигрыш может составить 55 % от вашего баланса. Если вы торгуете с оптимальным f, то ваш наибольший проигрыш будет эквивалентен f. Допустим, что f для системы составляет 0,55; при торговле 1 контрактом на каждые 10 000 долл. это означает, что вашим наибольшим убытком будет 5500 долл. Иными словами, при наибольшем проигрыше (снова мы говорим о том, что может произойти) вы можете потерять 5500 долл. по каждому открытому контракту, и если у вас 1 контракт на каждые 10 000 долл. на счете, то в этой точке проигрыш составит 55 % вашего баланса. Более того, полоса проигрышей может продолжиться: следующая сделка или серия сделок могут уменьшить счет еще больше. Чем лучше система, тем выше f. Чем выше f, тем больше возможный проигрыш, так как максимальный проигрыш (в процентах) не меньше f. Парадокс ситуации заключается в том, что, если система способна создать достаточно высокое оптимальное f, тогда проигрыш для такой системы также будет достаточно высоким. С одной стороны, оптимальное f позволяет вам получить наибольший геометрический рост, с другой – оно создает для вас ловушку, в которую можно легко попасть.

Мы знаем, что если при торговле фиксированной долей использовать оптимальное f, то можно ожидать значительных проигрышей (в процентах от баланса). Оптимальное f подобно плутонию: оно дает огромную силу, однако и чрезвычайно опасно. Эти значительные проигрыши – большая проблема, особенно для новичков, потому что торговля на уровне оптимального f создает опасность получить огромный проигрыш быстрее, чем при обычной торговле. Диверсификация может сильно сгладить проигрыш. Плюсом диверсификации является то, что она позволяет делать много попыток (проводить много игр) одновременно, тем самым увеличивая общую прибыль. Справедливости ради следует отметить, что диверсификация, хотя обычно и является лучшим способом для сглаживания проигрышей, не обязательно уменьшает их, а в некоторых случаях может даже увеличить убытки!

Существует ошибочное представление, что проигрышей можно полностью избежать, если провести достаточно эффективную диверсификацию. До некоторой степени верно, что проигрыши можно смягчить посредством эффективной диверсификации, но их никогда нельзя полностью исключить. Не вводите себя в заблуждение. Не имеет значения, насколько хороша применяемая система и насколько эффективно вы проводите диверсификацию, вы все равно будете сталкиваться со значительными проигрышами. Причина этого не во взаимной корреляции ваших рыночных систем, поскольку бывают периоды, когда большинство или все рыночные системы портфеля работают против вас, когда, по вашему мнению, этого не должно происходить. Попробуйте найти портфель с пятилетними историческими данными, чтобы все торговые системы работали бы при оптимальном f и при этом максимальный убыток был бы менее 30 %! Это будет непросто. Не имеет значения, сколько при этом рыночных систем используется. Если вы хотите все сделать математически правильно, надо быть готовым к проигрышу от 30 до 95 % от баланса счета. Необходима строжайшая дисциплина, и далеко не все могут ее соблюдать.

Как только трейдер отказывается от торговли постоянным количеством контрактов, он сталкивается с проблемой, каким количеством торговать. Это происходит всегда, независимо от того, признает трейдер данную проблему или нет. Торговля постоянным

количеством контрактов не является решением, так как таким образом никогда нельзя добиться геометрического роста. Поэтому, нравится вам это или нет, вопрос о том, каким количеством торговать в следующей сделке, будет неизбежен. Простой выбор случайного количества может привести к серьезной ошибке. Оптимальное f является единственным математически верным решением.

Современная теория портфеля

Вспомните ситуацию с оптимальным f и проигрышем рыночной системы. Чем лучше рыночная система, тем выше значение f. Однако если вы торгуете с оптимальным f, проигрыш (исторически) никогда не может быть меньше f. Вообще говоря, чем лучше рыночная система, тем больше будут промежуточные проигрыши (в процентах от баланса счета), если торговать при оптимальном f. Таким образом, если вы хотите достичь наибольшего геометрического роста, то должны быть готовы к серьезным проигрышам на своем пути.

Эффективная диверсификация путем включения в портфель других рыночных систем является лучшим способом, которым можно смягчить этот проигрыш и преодолеть его, все еще оставаясь близко к пику кривой f (т. е. не уменьшая f, скажем, до f/2). Когда одна рыночная система приносит убыток, другая приносит прибыль, тем самым смягчая проигрыш первой. Это также оказывает большое влияние на весь счет. Рыночная система, которая только что испытала проигрыш (и теперь возвращается к хорошей работе), будет иметь не меньше средств, чем до убытка (благодаря тому, что другая рыночная система аннулировала проигрыш). Диверсификация не будет сдерживать прирост системы (наоборот, движение вверх будет быстрее, так как после проигрыша вы не начнете с меньшего числа контрактов), при этом она смягчает понижение баланса (но только до очень ограниченной степени).

Можно рассчитать оптимальный портфель, состоящий из различных рыночных систем с соответствующими оптимальными f. Хотя мы не можем быть полностью уверены, что оптимальный в прошлом портфель будет оптимальным и в будущем, это все же более вероятно, чем то, что прошлые оптимальные параметры системы будут оптимальными или приблизительно оптимальными. В то время как оптимальные параметры системы с течением времени меняются довольно быстро, веса отдельных систем в оптимальном портфеле меняются очень медленно (как и значения оптимальных f). Вообще, корреляция между рыночными системами достаточно стабильна. Эта новость будет еще более приятна для трейдера, если он уже нашел такой оптимально смешанный портфель.

Модель Марковица

Основные концепции современной теории портфеля изложены в монографии, написанной доктором Гарри Марковицем. Первоначально Марковиц предположил, что управление портфелем является проблемой структурного, а не индивидуального выбора акций, что обычно практикуется. Марковиц доказывал, что диверсификация эффективна только тогда, когда корреляция между включенными в портфель рынками имеет отрицательное значение. Если у нас есть портфель, составленный из одного вида акций, то наилучшая диверсификация достигается в том случае, если мы выберем другой вид акций, которые имеют минимально возможную корреляцию с ценой первой акции. В результате этого портфель в целом (если он состоит из этих двух видов акций с отрицательной корреляцией) будет иметь меньшую дисперсию, чем любой вид акций, взятый отдельно.

Марковиц предположил, что инвесторы действуют рациональным способом и при наличии выбора предпочитают портфель с меньшим риском при равном уровне прибыльности или выбирают портфель с большей прибылью при одинаковом риске. Далее Марковиц утверждает, что для данного уровня риска есть оптимальный портфель с наивысшей доходностью, а для данного уровня доходности есть оптимальный портфель с наименьшим риском. Портфель, доходность которого может быть увеличена без соответствующего увеличения риска, или портфель, риск которого можно уменьшить без соответствующего уменьшения доходности, согласно Марковицу, неэффективны.

Рис. 1.7 показывает все имеющиеся портфели, рассматриваемые в данном примере. Если у вас портфель C, то лучше заменить его на портфель A, где прибыль такая же, но с меньшим риском, или на портфель B, где вы получите большую прибыль при том же риске.

Рис. 1.7. Современная теория портфеля

Описывая эту ситуацию, Марковиц ввел понятие «эффективная граница» (efficient frontier). Это набор портфелей, которые находятся в верхней левой части графика, т. е. портфели, прибыль которых больше не может быть увеличена без увеличения риска и риск которых не может быть уменьшен без уменьшения прибыли. Портфели, находящиеся на эффективной границе, называются эффективными (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Эффективная граница

Портфели, которые находятся вверху справа и внизу слева, в целом недостаточно диверсифицированы по сравнению с другими портфелями. Те же портфели, которые находятся в середине эффективной границы, обычно очень хорошо диверсифицированы. Выбор портфеля зависит от степени неприятия риска инвестором, иначе говоря, от желания взять на себя риск. В модели Марковица любой портфель, который находится на эффективной границе, является хорошим выбором, но какой именно портфель выберет инвестор – это вопрос личного предпочтения (позднее мы увидим, что есть точное оптимальное расположение портфеля на эффективной границе для всех инвесторов).

Модель Марковица первоначально была представлена для портфеля акций, который инвестор будет держать достаточно долго. Поэтому основными входными данными были ожидаемые доходы по акциям (определяется как ожидаемый прирост цены акции плюс дивиденды), ожидаемые дисперсии этих доходов и корреляции доходов между различными акциями. Если бы мы перенесли эту концепцию на фьючерсы, то было бы разумным (так как по фьючерсам не выплачивают дивидендов) измерять ожидаемое повышение цены, дисперсию и корреляции различных фьючерсов.

Возникает вопрос: «Если мы измеряем корреляцию цен, то что произойдет при включении в портфель двух систем с отрицательной корреляцией, работающих на одном и том же рынке?» Допустим, у нас есть системы A и B с отрицательной корреляцией. Когда A в проигрыше, B – в выигрыше, и наоборот. Разве это не идеальная диверсификация? Действительно, мы хотим измерить не корреляции цен рынков, на которых работаем, а корреляции изменений ежедневных балансов различных рыночных систем. И все-таки это является сравнением яблок и апельсинов. Например, две рыночные системы, корреляции которых мы собираемся измерить, работают на одном и том же рынке, и одна из систем имеет оптимальное f, соответствующее 1 контракту на каждые 2000 долл. на счете, а другая система имеет оптимальное f, соответствующее 1 контракту на каждые 10 000 долл. на счете. Чтобы понять суть торговли фиксированной долей в портфеле из нескольких систем, мы переведем изменения ежедневного баланса для данной рыночной системы в ежедневные HPR. В этом контексте HPR означает, сколько заработано или проиграно в данный день на основе 1 контракта в зависимости от оптимального f для этой системы. Рассмотрим пример. Скажем, рыночная система с оптимальным f в 2000 долл. за день заработала 100 долл. Тогда HPR для этой рыночной системы составит 1,05. Дневное HPR можно

найти следующим образом:

Дневное HPR = (A / B) + 1, (1.15)

где A – сумма (в долларах), выигранная или проигранная за этот день;

B – оптимальное f в долларах.

Для рассматриваемых рыночных систем преобразуем дневные выигрыши и проигрыши в дневные HPR, тогда мы получим значение, не зависящее от количества контрактов. В указанном примере, где дневное HPR = 1,05, вы выиграли 5 %. Эти 5 % не зависят от того, был у вас 1 или 1000 контрактов. Теперь можно сравнивать разные портфели. Мы будем сравнивать все возможные комбинации портфелей, начиная с портфелей, состоящих из одной рыночной системы (для каждой рассматриваемой рыночной системы), и заканчивая портфелями из N рыночных систем. В качестве примера рассмотрим рыночные системы A, B и C. Их комбинации будут выглядеть следующим образом:

A

B

C

AB

AC

BC

ABC

Но не будем останавливаться на этом. Для каждой комбинации рассчитаем веса рыночных систем в портфеле. Для этого необходимо задать минимальный процентный вес системы (или минимальное изменение веса). В следующем примере (портфель из систем A, B, C) этот минимальный вес системы равен 10 % (0,10):

Введем понятие КСП – комбинация систем в портфеле. Теперь для каждой КСП рассчитаем совокупное HPR для отдельного дня. Совокупное HPR для данного дня будет суммой HPR каждой рыночной системы для этого дня, умноженных на процентные веса систем. Например, для систем A, B и C мы рассматриваем процентные веса 10, 50 и 40 % соответственно. Далее допустим, что отдельные HPR для этих рыночных систем в тот день были 0,9, 1,4 и 1,05 соответственно. Тогда совокупное HPR для этого дня будет:

Совокупное HPR = (0,9 * 0,1) + (1,4 * 0,5) + (1,05 * 0,4) = 0,09 + 0,7 + 0,42 = 1,21.

Теперь нанесем дневные HPR для каждой КСП на ось Y. В модели Марковица это соответствует получаемому доходу. На оси X отложим стандартное отклонение дневных HPR для каждой КСП. В модели Марковица это соответствует риску.

Современную теорию портфеля часто называют теорией E-V, что соответствует названиям осей. Вертикальную ось часто называют E – ожидаемая прибыль (expected return), а горизонтальную ось называют V – дисперсия ожидаемой прибыли (variance in expected returns).

После этого можно найти эффективную границу. Мы включили различные рынки, системы и факторы f и теперь можем количественно определить лучшие КСП (т. е. КСП, которые находятся вдоль эффективной границы).

Стратегия среднего геометрического портфеля

То, в какой именно точке на эффективной границе вы будете находиться (т. е. какова эффективная КСП), является функцией вашего собственного неприятия риска, по крайней мере в соответствии с моделью Марковица. Однако есть оптимальная точка на эффективной границе, и с помощью математических методов можно найти эту точку. Если вы выберете КСП с наивысшим средним геометрическим HPR, то достигнете оптимальной КСП! Мы можем рассчитать среднее геометрическое из среднего арифметического HPR и стандартного отклонения HPR (обе эти величины у нас уже есть, так как они являются осями Х и Y модели Марковица). Уравнения (1.16, а) и (1.16, б) дают нам формулу для оценочного среднего геометрического EGM (estimated geometric mean). Данный расчет очень близок (обычно до четвертого или пятого знака после запятой) к реальному среднему геометрическому, поэтому можно использовать оценочное среднее геометрическое вместо реального среднего геометрического:

EGM = (AHPR ^ 2 – SD ^ 2) ^ (1/2), (1.16, а)

или

EGM = (AHPR ^ 2 – V) ^ (1/2), (1.16, б)

где EGM – оценочное среднее геометрическое;

AHPR – среднее арифметическое HPR, или координата, соответствующая доходу по портфелю;

SD – стандартное отклонение HPR, или координата, соответствующая риску по портфелю;

V – дисперсия HPR, равная SD ^ 2.

Обе формы уравнения (1.16) эквивалентны.

При КСП с наивысшим средним геометрическим рост стоимости портфеля будет максимальным; более того, данная КСП позволит достичь определенного уровня баланса за минимальное время.

Ежедневные процедуры при использовании оптимальных портфелей

Посмотрим на примере, как применять вышеописанный подход на ежедневной основе. Допустим, что оптимальное КСП соответствует трем различным рыночным системам. Предположим, что процент размещения составляет 10, 50 и 40 %. Если бы вы рассматривали счет в 50 000 долл., то он был бы «разделен» на три субсчета в 5000, 25 000 и 20 000 долл. для каждой рыночной системы (A, B и C) соответственно. Затем для баланса по субсчету каждой рыночной системы вычислите, сколькими контрактами торговать. Скажем, фактор f дал следующие величины:

Рыночная система A: 1 контракт на 5000 долл. баланса счета.

Рыночная система B: 1 контракт на 2500 долл. баланса счета.

Рыночная система C: 1 контракт на 2000 долл. баланса счета.

Тогда вы будете торговать 1 контрактом для рыночной системы A ($5000 / $5000), 10 контрактами для рыночной системы B ($25 000 / $2500) и 10 контрактами для рыночной системы C ($20 000 / $2000).

Каждый день, когда общий баланс счета меняется, все субсчета перерассчитываются. Допустим, что счет в 50 000 долл. на следующий день понизился до 45 000 долл. Так как мы каждый день заново перераспределяем средства по субсчетам, то получаем 4500 долл. для рыночной системы A, 22 500 долл. для рыночной системы B и 18 000 долл. для рыночной системы C. На следующий день мы будем торговать нулевым количеством контрактов по рыночной системе A ($4500 / $5000 = 0,9 и, так как мы всегда основываемся на целых числах, 0), 9 контрактами для рыночной системы B ($22 500 / $2500) и 9 контрактами для рыночной системы C ($18 000 / $2000). Перерассчитывайте субсчета ежедневно независимо от того, что вы получили: прибыль или убыток. Помните, субсчета, использованные здесь, являются условной конструкцией.

Есть более простой для понимания способ, дающий те же самые ответы, – деление оптимального f рыночной системы на ее процентный вес. Это даст сумму в долларах, на которую мы затем разделим общий баланс счета, чтобы узнать, сколькими контрактами торговать. Так как баланс счета изменяется ежедневно, мы перерассчитываем субсчета также ежедневно для получения нового общего баланса счета. В рассмотренном примере рыночная система A при значении f в 1 контракт на 5000 долл. баланса счета и процентном весе 10 % соответствует 1 контракту на 50 000 долл. общего баланса счета ($5000 / 0,10). Рыночная система B при значении f в 1 контракт на 2500 долл. баланса счета и процентном весе 50 %, соответствует 1 контракту на 5000 долл. общего баланса счета ($2500 / 0,50). Рыночная система C при значении f в 1 контракт на 2000 долл. баланса счета и процентном весе 40 % соответствует 1 контракту на 5000 долл. общего баланса счета ($2000 / 0,40). Таким образом, если бы у нас было 50 000 долл. на счете, мы бы торговали 1 контрактом в рыночной системе A, 10 контрактами в рыночной системе B и 10 контрактами в рыночной системе C.

На следующий день процедура повторяется. Скажем, наш общий баланс счета повысился до 59 000 долл. В этом случае разделим 59 000 долл. на 50 000 долл. и получим 1,18 (или, округляя до целого числа, 1), поэтому завтра мы бы торговали 1 контрактом в рыночной системе A, 11 контрактами ($59 000 / $5000 = 11,8, что ближе к целому числу 11) в рыночной системе B и 11 контрактами в рыночной системе C.

Предположим, в рыночной системе C со вчерашнего дня у нас открыта длинная позиция на 10 контрактов. Нам не следует добавлять сегодня до 11 контрактов. Суммы, которые мы рассчитываем с использованием баланса,

рассчитываются только для новых позиций. Поэтому завтра (если было открыто 10 контрактов, но мы закрыли позицию, т. е. зафиксировали прибыль) нам следует открыть 11 контрактов, если мы посчитаем это целесообразным. Расчет оптимального портфеля с использованием ежедневных HPR означает, что нам следует входить на рынок и изменять позиции на ежедневной основе, а не от сделки к сделке, но это необязательно делать, если мы будем торговать по долгосрочной системе, поскольку будет невыгодно регулировать размер позиции на ежедневной основе из-за высоких накладных расходов. Вообще говоря, следует изменять позиции на ежедневной основе, но в реальной жизни можно изменять их от сделки к сделке с малой потерей точности.

Применение правильных дневных позиций не является большой проблемой. Вспомните, что при поиске оптимального портфеля мы использовали в качестве вводных данных дневные HPR. Поэтому нам следовало бы изменять размер позиции ежедневно (если бы мы могли изменять каждую позицию по цене, по которой она закрылась вчера). В действительности это становится непрактично, так как издержки на транзакции начинают перевешивать прибыли от ежедневного изменения позиций.

С другой стороны, если мы открываем позицию, которую собираемся удерживать в течение года, нам следует пересматривать ее чаще, чем раз в год (т. е. в конце срока, когда мы откроем другую позицию). Вообще, в подобных долгосрочных системах нам лучше регулировать позицию каждую неделю, а не каждый день. Аргументация здесь такова: потери из-за не совсем правильных дневных позиций могут быть меньше, чем дополнительные издержки по сделкам для ежедневного изменения позиций. Вы должны определить, основываясь на используемой торговой стратегии, какие из потерь будут для вас меньше.

Какой объем исторических данных необходим для расчета оптимальных портфелей? Этот вопрос можно сформулировать несколько иначе: какой объем исторических данных необходим для определения оптимального f данной рыночной системы? Точного ответа не существует. Вообще, чем больше исторических данных вы используете, тем лучше должен быть результат (т. е. оптимальные портфели в будущем будут напоминать нынешние оптимальные портфели, рассчитанные по историческим данным). Однако соотношения изменяются, хотя и медленно. Одна из проблем при использовании данных за слишком большой период времени заключается в том, что возникает тенденция к использованию в портфеле рынков, которые были активны в прошлом. Например, если бы вы создавали портфель в 1983 г. на прошлых данных за 5 лет, то, вероятнее всего, один из драгоценных металлов оказался бы частью оптимального портфеля. Однако торговые системы по драгоценным металлам работали в большинстве своем очень плохо на протяжении нескольких лет после 1980–1981 гг. Поэтому, как видите, при определении будущего оптимального портфеля между использованием слишком большого количества исторических данных и слишком малого количества данных нужно найти золотую середину.

И наконец, возникает вопрос: как часто следует повторять всю процедуру поиска оптимального портфеля? По большому счету, вы должны делать это постоянно. Однако в реальной жизни достаточно тестировать портфель каждые три месяца. И даже если производить эту операцию каждые три месяца, все еще есть высокая вероятность, что вы придете к тому же составу портфеля или очень сходному с тем, что создали ранее.

Сумма весов систем в портфеле, превышающая 100%

До настоящего момента мы ограничивали сумму процентных весов 100 %. Однако возможно, что сумма процентных размещений для портфеля, который будет иметь наивысший геометрический рост, превысит 100 %. Рассмотрим, например, две рыночные системы – A и B, которые идентичны во всех отношениях, за тем исключением, что у них отрицательная корреляция (R < 0). Допустим, что оптимальное f в долларах для каждой из этих рыночных систем составляет 5000 долл. Допустим, что оптимальный портфель на основе самого высокого среднего геометрического – это портфель, который размещает 50 % в каждую из двух рыночных систем. Это означает, что вам следует торговать 1 контрактом на каждые 10 000 долл. баланса для рыночной системы A и для системы B. Однако, когда есть отрицательная корреляция, можно показать, что оптимальный рост счета в действительности будет достигнут при торговле 1 контрактом для баланса, меньшего 10 000 долл. для рыночной системы A и/или рыночной системы B. Другими словами, когда есть отрицательная корреляция, сумма процентных весов может превышать 100 %. Более того, возможно, что процентные размещения в рыночные системы могут по отдельности превысить 100 %.

Интересно рассмотреть случай, когда корреляция между двумя рыночными системами приближается к –1,00. В этом случае сумма для финансирования сделок по рыночным системам стремится стать бесконечно малой. Дело в том, что в таком портфеле почти не будет проигрышных дней, так как проигранная в данный день одной рыночной системой сумма возмещается суммой, выигранной другой рыночной системой в тот же день. Поэтому с помощью диверсификации возможно получить оптимальный портфель, который размещает меньшую долю f (в долларах) в данную рыночную систему, чем при торговле только в этой рыночной системе.

С этой целью для каждой рыночной системы вы можете разделить оптимальное f в долларах на количество рыночных систем, в которых работаете. В нашем примере, вместо того чтобы выбрать 5000 долл. в качестве оптимального f, для рыночной системы A нам следует использовать 2500 долл. (разделив 5000 долл., оптимальное f, на 2 – количество рыночных систем, в которых мы собираемся торговать) и таким же образом следует поступить с рыночной системой B. Теперь, когда мы используем данную процедуру для определения оптимального среднего геометрического портфеля, который состоит из 50 % для системы A и 50 % для системы B, это означает, что нам следует торговать 1 контрактом на каждые 5000 долл. на балансе для рыночной системы A ($2500 / 0,5) и для системы B.

В качестве еще одной рыночной системы вы можете использовать систему беспроцентного вклада. Это активы, не приносящие дохода, с HPR = 1,00 каждый день. Допустим, в нашем предыдущем примере оптимальный рост получен при 50 % для системы A и 40 % для системы B. Другими словами, следует торговать 1 контрактом на каждые 5000 долл. на балансе для рыночной системы A и 1 контрактом на каждые 6250 долл. для системы B ($2500 / 0,4). При использовании беспроцентного вклада в качестве другой рыночной системы это была бы одна из комбинаций (оптимальный портфель, который на 10 % в деньгах).

Если ваш портфель, найденный с помощью этой процедуры, не содержит систему беспроцентного вклада в качестве одной из составляющих, тогда вы должны повысить используемый фактор и разделить оптимальные f в долларах, используемые в качестве вводных данных. Возвращаясь к нашему примеру, допустим, мы использовали беспроцентный вклад и две рыночные системы – A и B. Далее предположим, что наш итоговый оптимальный портфель не содержит систему беспроцентного вклада. Пусть оптимальный портфель оказался на 60 % в рыночной системе A, на 40 % в рыночной системе B (возможна любая другая процентная комбинация, веса которой в сумме дают 100 %) и на 0 % в

системе беспроцентного вклада. Если бы мы разделили наши оптимальные f в долларах на 2, то этого было бы недостаточно. Мы должны разделить их на число больше 2. Итак, мы вернемся и разделим наши оптимальные f в долларах на 3 или 4, пока не получим оптимальный портфель, который включает систему беспроцентного вклада. Конечно, в реальной жизни это не означает, что мы должны размещать какую-либо часть нашего торгового капитала в беспроцентные вклады. Беспроцентные активы стоит использовать для того, чтобы определить оптимальную сумму средств на 1 контракт в каждой рыночной системе при сравнении нескольких рыночных систем.

Вы должны знать, что сумма процентных весов портфеля, при которых достигался наибольший геометрический рост в прошлом, может быть выше 100 %. Этого можно достичь, разделив оптимальное f в долларах для каждой рыночной системы на некое целое число (которое обычно является числом рыночных систем), включив беспроцентный вклад (т. е. рыночную систему с HPR = 1,00 каждый день) в качестве еще одной рыночной системы. Корреляции различных рыночных систем могут оказать серьезное воздействие на портфель. Важно понимать, что портфель может быть больше, чем сумма его частей (если корреляции его составляющих частей достаточно низки). Также возможно, что портфель будет меньше, чем сумма его частей (если корреляции слишком высоки).

Рассмотрим снова игру с броском монеты, где вы выигрываете 2 долл., когда выпадает лицевая сторона, и проигрываете 1 долл., когда выпадает обратная сторона. Каждый бросок имеет математическое ожидание (арифметическое) 50 центов. Оптимальное f составляет 0,25, т. е. надо ставить 1 долл. на каждые 4 долл. на счете, а среднее геометрическое составляет 1,0607. Теперь рассмотрим вторую игру, где сумма, которую вы можете выиграть при броске монеты, составляет 0,90 долл., а сумма, которую вы можете проиграть, – 1,10 долл. Такая игра имеет отрицательное математическое ожидание –0,10 долл., таким образом, здесь нет оптимального f и, соответственно, нет и среднего геометрического.

Посмотрим, что произойдет, когда мы будем играть в обе игры одновременно. Если корреляция этих игр равна 1,0 (т. е. мы выигрываем при выпадении лицевой стороны, а монета всегда падает либо на лицевую, либо на обратную сторону), тогда результаты были бы следующими: мы выигрываем 2,90 долл. при выпадении лицевой стороны или проигрываем 2,10 долл. при выпадении обратной. Такая игра имеет математическое ожидание 0,40 долл., оптимальное f = 0,14 и среднее геометрическое 1,013. Очевидно, что это худший подход к торговле с положительным математическим ожиданием.

Теперь допустим, что игры имеют отрицательную корреляцию, т. е., когда монета в игре с положительным математическим ожиданием выпадает на лицевую сторону, мы теряем 1,10 долл., и наоборот. Таким образом, результатом двух игр будет выигрыш 0,90 долл. в одном случае и проигрыш –0,10 долл. – в другом. Математическое ожидание все еще 0,40 долл., однако оптимальное f = 0,44, что дает среднее геометрическое 1,67. Вспомните, что среднее геометрическое является фактором роста вашего счета в среднем за одну игру. Это означает, что в такой игре в среднем можно ожидать выигрыш в 10 раз больший, чем в уже рассмотренной одиночной игре с положительным математическим ожиданием. Однако этот результат получен с помощью игры с положительным математическим ожиданием и ее комбинирования с игрой с отрицательным ожиданием. Причина большой разницы в результатах возникает из-за отрицательной корреляции между двумя рыночными системами. Мы рассмотрели пример, когда портфель больше, чем сумма его частей.

Важно помнить, что исторически ваш проигрыш может быть такой же большой, как и процент f (в смысле возможного уменьшения баланса). В действительности вам следует ожидать, что в будущем он будет выше, чем данное значение. Это означает, что комбинация двух рыночных систем, даже если они имеют отрицательную корреляцию, может привести к уменьшению баланса на 44 %. Это больше, чем в системе с положительным математическим ожиданием, в которой оптимальное f = 0,25, и поэтому максимальный исторический проигрыш уменьшит баланс только на 25 %. Мораль такова: диверсификация, если она произведена правильно, является методом, который повышает прибыли. Она не обязательно уменьшает проигрыши худшего случая, что абсолютно противоречит популярному представлению.

Диверсификация смягчает многие мелкие проигрыши, но она не уменьшает проигрыши худшего случая. При оптимальном f максимальные проигрыши могут быть существенно больше, чем думают многие. Поэтому, даже если вы хорошо диверсифицировали портфель, следует быть готовым к значительному уменьшению баланса.

Однако давайте вернемся и посмотрим на результаты, когда коэффициент корреляции между двумя играми равен 0. В такой ситуации, какими бы ни были результаты одного броска, они не влияют на результаты другого броска. Таким образом, есть четыре возможных результата.

Математическое ожидание равно:

МО = 2,9 * 0,25 + 0,9 * 0,25 – 0,1 * 0,25 – 2,1 * 0,25 = 0,725 + 0,225 – 0,025 – 0,525 = = 0,4.

Математическое ожидание равно 0,40 долл. Оптимальное f в этой последовательности составляет 0,26, или 1 ставка на каждые 8,08 долл. на балансе счета (так как наибольший проигрыш здесь равен –2,10 долл.). Таким образом, максимальный исторический проигрыш может быть 26 % (примерно такой же, что и в простой игре с положительным математическим ожиданием). Однако в этом примере происходит сглаживание уменьшений баланса. Если бы мы просто рассматривали игру с положительным ожиданием, то третья последовательность принесла бы нам максимальный проигрыш. Так как мы комбинируем две системы, третья последовательность более ровная. Это – единственный плюс. Среднее геометрическое здесь равно 1,025, т. е. скорость роста в два раза меньше, чем при простой игре с положительным математическим ожиданием. Мы делаем 4 ставки (когда могли бы сделать только 2 ставки в простой игре с положительным ожиданием), а больше не зарабатываем:

1,0607 ^ 2 = 1,12508449,

1,025 ^ 4 = 1,103812891.

Очевидно, что при диверсификации вы должны использовать такие рыночные системы, которые имеют самую низкую корреляцию прибылей друг к другу и желательно отрицательную. Вы должны понимать, что уменьшение баланса худшего случая едва ли будет смягчено диверсификацией, хотя вы сможете смягчать многие более слабые уменьшения баланса. Наибольшая польза диверсификации состоит в улучшении среднего геометрического. Метод поиска оптимального портфеля путем рассмотрения чистых дневных HPR упраздняет необходимость смотреть за тем, сколько сделок в каждой рыночной системе произошло. Использование этого метода позволит вам наблюдать только за средним геометрическим независимо от частоты сделок. Таким образом, среднее геометрическое становится единственной статистической оценкой того, насколько прибыльным является портфель. Главная цель диверсификации – это получение наивысшего среднего геометрического.

Как разброс результатов затрагивает геометрический рост

После того как мы признали тот факт, что, хотим мы того или нет, количество для торговли определяется по уровню баланса на счете, можно рассматривать HPR, а не денежные суммы. Таким образом, мы придадим управлению деньгами

определенность и точность. Мы сможем проверить наши стратегии управления деньгами, составить правила и сделать определенные выводы. Посмотрим, как связаны геометрический рост и разброс результатов (HPR).

В этой дискуссии мы для простоты будем использовать пример азартной игры. Рассмотрим две системы: систему A, которая выигрывает 10 % времени и имеет отношение выигрыш/проигрыш 28:1, и систему B, которая выигрывает 70 % времени и имеет отношение выигрыш/проигрыш 1,9:1. Наше математическое ожидание на единицу ставки для A равно 1,9, а для B равно 0,4. Поэтому мы можем сказать, что для каждой единицы ставки система A выиграет в среднем в 4,75 раза больше, чем система B. Но давайте рассмотрим торговлю фиксированной долей. Мы можем найти оптимальные f, разделив математическое ожидание на отношение выигрыш/проигрыш. Это даст нам оптимальное f = 0,0678 для A и 0,4 для B. Средние геометрические для каждой системы при соответствующих значениях оптимальных f составят:

A = 1,044176755,

B = 1,0857629.

Как видите, система B, несмотря на то что ее математическое ожидание примерно в четыре раза меньше, чем у системы A, приносит почти в два раза больше за ставку (доходность 8,57629 % за ставку, когда вы реинвестируете с оптимальным f), чем система A (которая приносит 4,4176755 % за ставку, когда вы реинвестируете с оптимальным f).

Проигрыш 50 % по балансу потребует 100 % прибыли для возмещения; 1,044177 в степени Х будет равно 2,0, когда Х приблизительно равно 16,5, т. е. для возмещения 50 % проигрыша для системы A потребуется более 16 сделок. Сравним с системой B, где 1,0857629 в степени Х будет равно 2,0, когда Х приблизительно равно 9, т. е. для системы B потребуется 9 сделок для возмещения 50 % проигрыша.

В чем здесь дело? Не потому ли все это происходит, что система B имеет процент выигрышных сделок выше? Истинная причина, по которой B функционирует лучше A, кроется в разбросе результатов и его влиянии на функцию роста. Большинство трейдеров ошибочно считают, что функция роста TWR задается следующим образом:

TWR = (1 + R) ^ N, (1.17)

где R – процентная ставка за период (например, 7 % = 0,07);

N – количество периодов.

Так как 1 + R то же, что и HPR, ошибочно полагают, что функция роста[5 - Многие ошибочно используют среднее арифметическое HPR в уравнении HPR ^ N. Как здесь показано, это не даст истинного TWR после N игр. Вы должны использовать геометрическое, а не арифметическое среднее HPR ^ N. Это даст истинное TWR. Если стандартное отклонение HPR = 0, тогда арифметическое среднее HPR и геометрическое среднее HPR эквивалентны и не имеет значения, какое из них вы используете.] TWR равна:

TWR = HPR ^ N. (1.18)

Эта функция верна только тогда, когда прибыль (т. е. HPR) постоянна, чего в торговле не бывает.

Реальная функция роста в торговле (или любой другой среде, где HPR не является постоянной) – это произведение всех HPR. Допустим, мы торгуем кофе, наше оптимальное f составляет 1 контракт на каждую 21 000 долл. на балансе счета и прошло 2 сделки, одна из которых принесла убыток 210 долл., а другая – выигрыш 210 долл. В этом примере HPR равны 0,99 и 1,01 соответственно. Таким образом, TWR равно:

TWR = 1,01 * 0,99 = 0,9999.

Дополнительную информацию можно получить, используя оценочное среднее геометрическое (EGM):

EGM = (AHPR ^ 2 – SD ^ 2) ^ (1/2),

или

EGM = (AHPR ^ 2 – V) ^ (1/2).

Теперь возведем уравнение (1.16, а) или (1.16, б) в степень N, чтобы рассчитать TWR. Оно будет близко к «мультипликативной» функции роста, действительному TWR:

Оценочное TWR = ((AHPR ^ 2 – SD ^ 2) ^ (1/2)) ^ N, (1.19, а)

или

Оценочное TWR = ((AHPR ^ 2 – V) ^ (1/2)) ^ N, (1.19, б)

где N – количество периодов;

AHPR – среднее арифметическое HPR;

SD – стандартное отклонение значений HPR;

V – дисперсия значений HPR.

Оба уравнения (1.19) эквивалентны.

Полученная информация говорит, что найден компромисс между увеличением средней арифметической торговли (HPR) и дисперсией HPR, и становится ясна причина, по которой система (1,9:1; 70 %) работает лучше, чем система (28:1; 10 %)!

Нашей целью является максимизация коэффициента этой функции, т. е. максимизация следующей величины:

EGM = (AHPR ^ 2 – V) ^ (1/2).

Показатель оценочного TWR, т. е. N, сам о себе позаботится. Увеличение N не является проблемой, так как мы можем расширить количество рынков или торговать в более краткосрочных типах систем.

Расчет дисперсии и стандартного отклонения (V и SD соответственно) может оказаться трудным для большинства людей, не знакомых со статистикой. Вместо этих величин многие используют среднее абсолютное отклонение, которое мы назовем М. Чтобы найти М, надо просто взять среднее абсолютное значение разности самой величины и ее среднего значения:

При колоколообразном распределении (как почти всегда бывает с распределением прибылей и убытков торговой системы) среднее абсолютное отклонение примерно равно 0,8 стандартного отклонения (в нормальном распределении оно составляет 0,7979). Поэтому мы можем сказать:

М = 0,8 * SD (1.21)

и

SD = 1,25 * М. (1.22)

Обозначим среднее арифметическое HPR переменной A, а среднее геометрическое HPR переменной G. Используя уравнение (1.16, б), мы можем выразить оценочное среднее геометрическое следующим образом:

G = (A ^ 2 – V) ^ (1/2).

Из этого уравнения получим:

G ^ 2 = (A ^ 2 – V). (1.23)

Теперь вместо дисперсии подставим стандартное отклонение [как в (1.16, а)]:

G ^ 2 = A ^ 2 – SD ^ 2. (1.24)

Из этого уравнения мы можем выделить каждую переменную, а также ноль, чтобы получить фундаментальные соотношения между средним арифметическим, средним геометрическим и разбросом, выраженным здесь как SD ^ 2:

A ^ 2 – G ^ 2 – SD ^ 2 = 0, (1.25)

G ^ 2 = A ^ 2 – SD ^ 2, (1.26)

SD ^ 2 = A ^ 2 – G ^ 2, (1.27)

A ^ 2 = G ^ 2 + SD ^ 2. (1.28)

В этих уравнениях значение SD ^ 2 можно записать как V или как (1,25 * М) ^ 2. Это подводит нас к той точке, когда мы можем описать существующие взаимосвязи. Отметьте, что последнее из уравнений – это теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы! Но здесь гипотенуза – это A, а мы хотим максимизировать одну из ее сторон – G. При увеличении G любое повышение D («катет» дисперсии, равный SD, или V ^ (1/2), или 1,25 * М) приведет к увеличению A. Когда D = 0, тогда A = G, этим самым соответствуя ложно толкуемой функции роста TWR = (1 + R) ^ N. Действительно, когда D = 0, тогда A = G в соответствии с уравнением (1.26).

Мы можем сказать, что повышение A ^ 2 оказывает на G то же воздействие, что и аналогичное понижение величины (1,25 * М) ^ 2:

?A^2 = —?((1,25 * M)^2). (1.29)

Чтобы понять это, рассмотрим изменение A от 1,1 до 1,2:

Когда A = 1,1, то SD = 0,1. Когда A = 1,2, то, чтобы получить эквивалентное G, SD должно быть равно 0,4899 согласно уравнению (1.27). Так как М = 0,8 * SD, то М = 0,39192. Если мы возведем в квадрат значения A и SD и рассчитаем разность, то получим 0,23 в соответствии с уравнением (1.29).

Рассмотрим следующую таблицу:

Отметьте, что в предыдущем примере, где мы начали с меньших значений разброса (SD или M), требовалось их большее повышение, чтобы достичь того же G. Таким образом, можно утверждать, что чем сильнее вы уменьшаете дисперсию, тем легче дается больший выигрыш. Это экспоненциальная функция, причем в пределе, при нулевой дисперсии, G = A. Трейдер, который торгует на фиксированной долевой основе, должен максимизировать G, но не обязательно A. При максимизации G надо понимать, что стандартное отклонение SD затрагивает G в той же степени, что и A, в соответствии с теоремой Пифагора! Таким образом,

когда трейдер уменьшает стандартное отклонение (SD) своих сделок, это эквивалентно повышению арифметического среднего HPR (т. е. A), и наоборот!

Фундаментальное уравнение торговли

Мы можем получить гораздо больше, чем просто понимание того факта, что уменьшение размера проигрышей улучшает конечный результат. Вернемся к уравнению (1.19, а):

Оценочное TWR = ((AHPR ^ 2 – SD ^ 2) ^ (1/2)) ^ N.

Подставим A вместо AHPR (среднее арифметическое HPR). Далее, так как (Х ^ Y) ^ Z = X ^ (Y * Z), мы можем еще больше упростить уравнение:

Оценочное TWR = (A ^ 2 – SD ^ 2) ^ (N/2). (1.19, в)

Это последнее уравнение мы назовем фундаментальным уравнением торговли, так как оно описывает, как различные факторы – A, SD и N – влияют на результат торговли.

Очевидны несколько фактов. Во-первых, если A ? 1, тогда при любых значениях двух других переменных – SD и N – наш результат не может быть больше единицы. Если A < 1, то при N, стремящемся к бесконечности, наш результат приближается к нулю. Это означает, что, если A ? 1 (математическое ожидание меньше или равно нулю, так как математическое ожидание равно A – 1), у нас нет шансов получить прибыль. Фактически если A < 1, то наше разорение – это просто вопрос времени (т. е. достаточно большого N).

При условии, что A > 1, с ростом N увеличивается наша прибыль. Например, система показала среднее арифметическое 1,1 и стандартное отклонение 0,25. Таким образом:

Оценочное TWR = (1,1 ^ 2–0,25 ^ 2) ^ (N/2) = (1,21 – 0,0625) ^ (N/2) = 1,1475 ^ (N/2).

В нашем примере, где коэффициент равен 1,1475, получаем: 1,1475 ^ (1/2) = = 1,071214264. Таким образом, каждая следующая сделка, каждое увеличение N на единицу, соответствует умножению нашего конечного счета на 1,071214264. Отметьте, что это число является средним геометрическим. Каждый раз, когда осуществляется сделка и когда N увеличивается на единицу, коэффициент умножается на среднее геометрическое. В этом и состоит действительная польза диверсификации, выраженная математически фундаментальным уравнением торговли. Диверсификация позволяет как бы увеличить N (т. е. количество сделок) за определенный период времени.

Есть еще одна важная деталь, которую необходимо отметить при рассмотрении фундаментального уравнения торговли: хорошо, когда вы уменьшаете стандартное отклонение больше, чем арифметическое среднее HPR. Поэтому следует быстро закрывать убыточные позиции (использовать маленький стоп-лосс). Но уравнение также демонстрирует, что при выборе слишком жесткого стопа вы можете потерять больше. Вас выбьет с рынка из-за слишком большого количества сделок с маленьким проигрышем, которые позднее оказались бы прибыльными, поскольку A уменьшается в большей степени, чем SD.

Вместе с тем уменьшение больших выигрышных сделок поможет вашей системе, если это уменьшает SD больше, чем уменьшает A. Во многих случаях этого можно достичь путем включения в вашу торговую программу опционов. Позиция по опционам, которая направлена против позиции базового инструмента (покупка опциона или продажа соответствующего опциона), может оказаться весьма полезной. Например, если у вас длинная позиция по какой-либо акции (или товару), покупка пут-опциона (или продажа колл-опциона) может уменьшить ваше SD по совокупной позиции в большей степени, чем A. Если вы получаете прибыль по базовому инструменту, то будете в убытке по опциону. При этом убыток по опциону лишь незначительно уменьшит общую прибыль. Таким образом, вы уменьшили как SD, так и A. Если вы не получаете прибыль по базовому инструменту, вам надо увеличить A и уменьшить SD. Надо стремиться уменьшать SD в большей степени, чем A.

Конечно, издержки на транзакции при такой стратегии довольно значительны, и они всегда должны приниматься в расчет. Чтобы воспользоваться этой стратегией, ваша программа не должна быть ориентирована на очень короткий срок. Все вышесказанное лишь подтверждает, что различные стратегии и различные торговые правила должны рассматриваться с точки зрения фундаментального уравнения торговли. Таким образом, мы можем оценить влияние этих факторов на уровень возможных убытков и понять, что именно необходимо сделать для улучшения системы.

Допустим, в долгосрочной торговой программе была использована вышеупомянутая стратегия покупки пут-опциона совместно с длинной позицией по базовому инструменту, и в результате мы получили большее оценочное TWR. Ситуация, когда одновременно открыты длинная позиция по базовому инструменту и позиция по пут-опциону, эквивалентна длинной позиции по колл-опциону. В этом случае лучше просто купить колл-опцион, так как издержки на транзакции будут существенно ниже[6 - Здесь есть еще один плюс, который сразу может быть и не виден. Он состоит в том, что мы заранее знаем проигрыш худшего случая. Учитывая, насколько чувствительно уравнение оптимального f к наибольшему проигрышу, такая стратегия может приблизить нас к пику кривой f и показать, каким может быть наибольший проигрыш. К тому же проблема проигрыша в трех стандартных отклонениях (или больше) с более высокой вероятностью, чем подразумевает нормальное распределение, будет устранена. Именно гигантские проигрыши (более трех стандартных отклонений) разоряют большинство трейдеров. Опционные стратегии могут полностью упразднить такие проигрыши.], чем при наличии длинной позиции по базовому инструменту и длинной позиции по пут-опциону.

Продемонстрируем это на примере рынка индексов акций в 1987 г. Допустим, мы покупаем базовый инструмент – индекс ОЕХ. Система, которую мы будем использовать, является простым 20-дневным прорывом канала. Каждый день мы рассчитываем самый высокий максимум и самый низкий минимум последних 20 дней. Затем в течение дня, если рынок повышается и касается верхней точки, мы покупаем. Если цены идут вниз и касаются низшей точки, мы продаем. Если дневные открытия выше или ниже точек входа в рынок, мы входим при открытии. Такая система подразумевает постоянную торговлю на рынке.

Если определять оптимальное f по этому потоку сделок, найдем соответствующее среднее геометрическое (фактор роста на нашем счете за игру), которое здесь равно 1,12445.

Теперь возьмем те же сделки, только будем использовать модель оценки фондовых опционов Блэка – Шоулза (подробно об этом будет рассказано в главе 5), и преобразуем входные цены в теоретические цены опционов. Входные данные для ценовой модели будут следующими: историческая волатильность, рассчитанная на основе 20 дней (расчет исторической волатильности также приводится в главе 5), безрисковая ставка 6 % и 260,8875 дня (это среднее число рабочих дней в году). Далее мы допустим, что покупаем опционы, когда остается ровно 0,5 года до даты их исполнения (6 месяцев), и что они «при деньгах». Другими словами, существуют цены исполнения, в точности соответствующие цене входа на рынок. Покупка колл-опциона, когда система в длинной позиции по базовому инструменту, и пут-опциона, когда система в короткой позиции по базовому инструменту, с учетом параметров упомянутой модели оценки опционов даст в результате следующий поток сделок:

Если рассчитать оптимальное f по этому потоку сделок, мы придем к выводу, что соответствующее среднее геометрическое (фактор роста на нашем счете за игру) равно 1,2166. Сравните его со средним геометрическим при

оптимальном f для базового инструмента 1,12445. Разница огромная. Так как мы получили всего 6 сделок, то можно возвести каждое среднее геометрическое в 6-ю степень для определения TWR. Это даст TWR по базовому инструменту 2,02 против TWR по опционам 3,24. Преобразуем TWR в процент прибыли от нашего начального счета. Мы получим 102 % прибыли при торговле по базовому инструменту и 224 % прибыли при торговле опционами. Опционы в рассмотренном случае предпочтительнее, что подтверждается фундаментальным уравнением торговли.

Длинные позиции по опционам могут быть менее эффективными, чем длинные позиции по базовому инструменту. Чтобы не сделать здесь ошибку, торговые стратегии (а также выбор серии опционов) необходимо рассматривать с точки зрения фундаментального уравнения торговли.

Как видите, фундаментальное уравнение торговли можно использовать для улучшения торговли. Улучшения могут заключаться в изменении жесткости приказов на закрытие убыточных позиций (приказов стоп-лосс), в установлении целей и т. д. Эти изменения могут быть вызваны неэффективностью текущей торговли, а также неэффективностью торговой методологии.

Надеюсь, вы теперь понимаете, что компьютер неверно используется большинством трейдеров. Оптимизация, поиск систем и значений параметров, которые бы заработали больше всего денег на прошлых данных, – по сути, пустая трата времени. Вам надо получить систему, которая будет прибыльна в будущем. С помощью грамотного управления капиталом вы сможете «выжать» максимум из системы, которая лишь минимально прибыльна. Прибыльность системы в большей степени определяется управлением капиталом, которое вы применяете к системе, чем самой системой.

Вот почему вы должны строить свои системы (или торговые методы, если вы настроены против механических систем), будучи уверенными в том, что они останутся прибыльными (даже минимально прибыльными) в будущем. Помните, что этого нельзя достичь путем ограничения степеней свободы системы или метода. При разработке вашей системы или метода помните также о фундаментальном уравнении торговли. Оно будет вести вас в верном направлении в отношении эффективности системы или метода. Когда оно будет использоваться вместе с принципом «неограничения степеней свободы», вы получите метод или систему и сможете применить различные техники управления деньгами. Использование этих методов управления деньгами, будь они эмпирическими, которые описываются в этой главе, или параметрическими (ими мы займемся в главе 3), определит степень прибыльности вашего метода или системы.

Глава 2 Характеристики торговли фиксированной долей и полезные методы

Мы видели, что оптимальный рост счета достигается посредством оптимального f. Это верно независимо от инструмента, используемого в торговле. Работаем ли мы на рынке фьючерсов, акций или опционов, управляем ли группой трейдеров, при оптимальном f достигается оптимальный рост, а поставленная цель – в кратчайшее время. Мы также узнали, как с эмпирической точки зрения объединить различные рыночные системы на их оптимальных уровнях f в оптимальный портфель, т. е. как скомбинировать оптимальное f и теорию портфеля, используя прошлые данные для определения весов компонентов в оптимальном портфеле. Далее мы рассмотрим важные характеристики торговли фиксированной долей.

Оптимальное f для начинающих трейдеров с небольшими капиталами

Каким образом при небольшом счете, который дает возможность торговать только 1 контрактом, использовать подход оптимального f? Одно из предложений заключается в том, чтобы торговать 1 контрактом, учитывая не только оптимальное f в долларах (наибольший проигрыш / —f), но также проигрыш и маржу (залог). Сумма средств, отведенная под первый контракт, должна быть больше суммы оптимального f в долларах или маржи плюс максимальный исторический проигрыш (на основе 1 единицы):

А = МАХ {(Наибольший проигрыш / —f), (Маржа + ABS (Проигрыш))}, (2.1)

где А – сумма в долларах, отведенная под первый контракт;

f – оптимальное f (от 0 до 1);

Маржа – первоначальная спекулятивная маржа для данного контракта (залоговые средства, необходимые для открытия одного контракта);

Проигрыш – максимальный исторический совокупный проигрыш;

МАХ {} – максимальное значение выражения в скобках;

ABS() – функция абсолютного значения.

При такой процедуре вы сможете пережить максимальный проигрыш и все еще иметь достаточно денег для следующей попытки. Хотя мы не можем быть уверены, что в будущем проигрыш наихудшего случая не превысит исторический проигрыш наихудшего случая, маловероятно, чтобы мы начали торговлю сразу с нового исторического проигрыша. Трейдер, использующий эту технику, каждый день должен вычитать сумму, полученную с помощью уравнения (2.1), из своего баланса. Остаток следует разделить на величину (наибольший проигрыш / —f). Полученный ответ следует округлить в меньшую сторону и прибавить единицу, таким образом мы получим число контрактов для торговли.

Прояснить ситуацию поможет пример. Допустим, у нас есть система, где оптимальное f = 0,4, наибольший исторический проигрыш равен –3000 долл., максимальный совокупный проигрыш был –6000 долл., а залог равен 2500 долл. Используя уравнение (2.1), мы получим:

А = МАХ {(—$3000 / 0,4), ($2500 + ABS(—$6000))} = MAX {($7500), ($2500 + $6000)} = MAX {$7500, $8500} = $8500.

Таким образом, нам следует отвести 8500 долл. под первый контракт. Теперь допустим, что на нашем счете 22 500 долл. Поэтому мы вычтем сумму под первый контракт из баланса:

$22 500 – $8500 = $14 000.

Затем разделим эту сумму на оптимальное f в долларах:

$14 000 / $7500 = 1,867.

Округлим полученный результат в меньшую сторону до ближайшего целого числа:

INT (1,867) = 1.

Затем добавим 1 к полученному результату (1 контракт уже обеспечен 8500 долл., которые мы вычли из баланса):

1 + 1 = 2.

Таким образом, мы будем торговать 2 контрактами. Если бы мы торговали на уровне оптимального f (7500 долл. на 1 контракт), то торговали бы 3 контрактами (22 500 / 7500). Как видите, этот метод можно использовать независимо от того, насколько велик баланс счета (однако чем больше баланс, тем ближе будут результаты). Более того, чем больше баланс, тем менее вероятно, что вы в конце концов получите проигрыш, после которого сможете торговать только 1 контрактом. Трейдерам с небольшими счетами или тем, кто только начинает торговать, следует использовать этот подход.

Порог геометрической торговли

Существует еще один хороший подход для трейдеров, которые только начинают торговать, правда, если вы не используете только что упомянутый метод. При таком подходе используется еще один побочный продукт оптимального f – порог геометрической торговли. Мы уже знаем такие побочные продукты оптимального f, как TWR, среднее геометрическое и т. д.; они были получены из оптимального f и дают нам информацию о системе. Порог геометрической торговли – еще один из таких побочных расчетов. По существу, порог геометрической торговли говорит нам, в какой точке следует переключиться на торговлю фиксированной долей, предполагая, что мы начинаем торговать фиксированным количеством контрактов.

Вспомните пример с броском монеты, где мы выигрываем 2 долл., если монета падает на лицевую сторону, и проигрываем 1

долл., если она падает на обратную сторону. Мы знаем, что оптимальное f = 0,25, т. е. 1 ставка на каждые 4 долл. баланса счета. Если мы торгуем на основе постоянного количества контрактов, то в среднем выигрываем 0,50 долл. за игру. Однако если мы начнем торговать фиксированной долей счета, то можем ожидать выигрыш в 0,2428 долл. на единицу за одну игру (при геометрической средней торговле).

Допустим, мы начинаем с первоначального счета в 4 долл. и поэтому делаем 1 ставку за одну игру. В конце концов, когда счет увеличивается до 8 долл., следует делать 2 ставки за одну игру. Однако 2 ставки, умноженные на геометрическую среднюю торговлю 0,2428 долл., дадут в итоге 0,4856 долл. Не лучше ли придерживаться 1 ставки при уровне баланса 8 долл., так как нашим ожиданием за одну игру все еще будет 0,50 долл.? Ответ: «да». Причина в том, что оптимальное f рассчитывается на основе контрактов, которые бесконечно делимы, чего в реальной торговле не бывает.

Мы можем найти точку, где следует перейти к торговле двумя контрактами, основываясь на формуле порога геометрической торговли Т:

Т = ААТ / GAT * Наибольший убыток / —f,(2.2)

где T – порог геометрической торговли;

ААТ – средняя арифметическая сделка;

GAT – средняя геометрическая сделка;

f – оптимальное f (от 0 до 1).

Для нашего примера с броском монеты (2: 1):

Т = 0,50 / 0,2428 * –1 / –0,25 = 8,24.

Поэтому следует переходить на торговлю 2 контрактами, когда счет увеличится до 8,24 долл., а не до 8,00 долл. Рис. 2.1 иллюстрирует порог геометрической торговли для игры с 50 %-ным шансом выигрыша 2 долл. и 50 %-ным шансом проигрыша 1 долл.

Отметьте, что дно кривой порога геометрической торговли соответствует оптимальному f. Порог геометрической торговли является оптимальным уровнем баланса для перехода от торговли 1 единицей к торговле 2 единицами. Поэтому если вы используете оптимальное f, то сможете перейти к геометрической торговле при минимальном уровне баланса счета. Теперь возникает вопрос: можем ли мы использовать подобный подход, чтобы узнать, когда переходить от 2 к 3 контрактам? А также: почему в самом начале размер единицы не может быть 100 контрактов, если мы начинаем с достаточно большого счета, а не такого, который позволяет торговать лишь одним контрактом? Разумеется, можно использовать этот метод при работе с размером единицы, большим 1. Однако это корректно в том случае, если вы не уменьшите размер единицы до перехода к геометрическому способу торговли. Дело в том, что до того, как вы перейдете на геометрическую торговлю, вы должны будете торговать постоянным размером единицы.

Рис. 2.1. Порог геометрической торговли для броска монеты 2: 1

Допустим, вы начинаете со счета в 400 единиц в игре с броском монеты 2: 1. Оптимальное f в долларах предполагает торговлю 1 контрактом (1 ставка) на каждые 4 долл. на счете. Поэтому начинайте торговать 100 контрактами (сделав 100 ставок) в первой сделке. Ваш порог геометрической торговли равен 8,24 долл., и поэтому следует торговать 101 контрактом на уровне баланса 404,24 долл. Вы можете преобразовать порог геометрической торговли, который соответствует переходу с 1 контракта к 2 контрактам следующим образом:

Преобразованное Т = EQ + T – (Наибольший проигрыш / —f), (2.3)

где EQ – начальный уровень баланса счета;

Т – порог геометрической торговли для перехода с 1 контракта к 2;

f – оптимальное f (от 0 до 1).

Преобразованное Т = 400 + 8,24 – (–1 / –0,25) = 400 + 8,24 – 4 = 404,24.

Таким образом, вы перейдете к торговле 101 контрактом (101 ставке), только когда баланс счета достигнет 404,24 долл. Допустим, вы торгуете постоянным количеством контрактов, пока баланс счета не достигнет 404,24 долл., где вы начнете применять геометрический подход. Пока баланс счета не достигнет 404,24 долл., вы будете торговать 100 контрактами в последующих сделках независимо от суммы счета. Если после того, как вы пересечете порог геометрической торговли (т. е. после того, как баланс счета достигнет 404,24 долл.), вы понесете убыток и баланс упадет ниже 404,24 долл., вы вернетесь снова к торговле на основе 100 контрактов и будете так торговать до тех пор, пока снова не пересечете геометрический порог.

Невозможность уменьшения количества контрактов при уменьшении счета, когда вы находитесь ниже геометрического порога, является недостатком при использовании этой процедуры, когда контрактов больше 2. Если вы торгуете только 1 контрактом, геометрический порог является реальным методом для определения того, на каком уровне баланса начать торговать 2 контрактами (так как вы не можете торговать менее чем 1 контрактом при понижении баланса). Однако этот метод не работает, когда речь идет о переходе от 2 контрактов к 3, так как метод базируется на том, что вы начинаете торговлю с постоянного количества контрактов, т. е. если вы торгуете 2 контрактами, метод не будет работать (за исключением случая, когда вы откажетесь от возможности понизить количество контрактов до 1 при падении уровня баланса). Таким образом, начиная торговлю со 100 контрактов, вы не можете перейти к торговле меньшим числом контрактов. Если вы не будете уменьшать количество контрактов, которыми в настоящее время торгуете, при понижении баланса, то порог геометрической торговли или его преобразованная версия из уравнения (2.3) будет уровнем баланса, достаточным для добавления следующего контракта. Проблема этой операции (не уменьшать при понижении) состоит в том, что вы заработаете меньше (TWR будет меньше) в асимптотическом смысле. Вы не выиграете столько, сколько бы выиграли при торговле полным оптимальным f. Более того, ваши проигрыши будут больше, и риск банкротства увеличится. Поэтому порог геометрической торговли будет эффективен, если вы начнете с наименьшего размера ставки (1 контракт) и повысите его до 2. Оптимально, если средняя арифметическая сделка более чем в два раза превышает среднюю геометрическую сделку. Предложенный метод следует использовать, когда вы не можете торговать дробными единицами.

Один комбинированный денежный счет по сравнению с отдельными денежными счетами

Прежде чем мы обсудим параметрические методы, необходимо рассмотреть некоторые очень важные вопросы в отношении торговли фиксированной долей. При одновременной торговле более чем в одной рыночной системе вы получите лучшие результаты в асимптотическом смысле, если будете использовать только один комбинированный денежный счет. Рассчитывать количество контрактов для торговли следует не для каждого отдельно взятого денежного счета, а для данного единого комбинированного счета.

По этой причине необходимо ежедневно «соединять» подсчета при изменении их балансов. Сравним две похожие системы: систему А и систему Б. Обе системы имеют 50 %-ный шанс выигрыша и отношение выигрыша 2:1. Поэтому оптимальное f диктует, чтобы мы ставили 1 долл. на каждые 4 долл. баланса. Первый пример описывает ситуацию, когда эти две системы имеют положительную корреляцию. Мы начинаем со 100 долл. и разбиваем их на 2 подсчета по 50 долл. каждый. После регистрации сделки для этой системы изменится только столбец «Полный капитал», так как каждая система имеет собственный отдельный счет. Размер денежного счета каждой системы используется для определения ставки для последующей игры (табл. I):

Таблица

I

Теперь мы рассмотрим комбинированный счет в 100 единиц. Вместо того чтобы ставить 1 долл. на каждые 4 долл. на комбинированном счете для каждой системы, мы будем ставить 1 долл. на каждые 8 долл. комбинированного счета. Каждая сделка в любой из систем затрагивает комбинированный счет, и именно комбинированный счет используется при определении размера ставки для последующей игры (табл. II).

Таблица II

Отметьте, что в случае комбинированного счета и в случае отдельных счетов прибыль одна и та же: 42,38 долл. Мы рассматривали положительную корреляцию между двумя системами. Теперь рассмотрим случай с отрицательной корреляцией между теми же системами для двух отдельных денежных счетов (табл. III).

Таблица III

Как видите, при работе с отдельными денежными счетами обе системы выигрывают ту же сумму независимо от корреляции. Однако при комбинированном счете итог несколько иной (табл. IV):

Таблица IV

Как видите, при использовании комбинированного счета результаты гораздо лучше. Таким образом, торговать фиксированной долей следует на основе одного комбинированного счета.

Рассматривайте каждую игру как бесконечно повторяющуюся

Следующая аксиома, касающаяся торговли фиксированной долей, относится к максимизации текущего события, как будто оно должно быть осуществлено бесконечное количество раз в будущем. Мы определили, что для процесса независимых испытаний вы должны всегда использовать оптимальное и постоянное f, но при наличии зависимости оптимальное f уже не будет постоянной величиной.

Допустим, в нашей системе существует зависимость, в соответствии с которой подобное порождает подобное, а доверительная граница достаточно высока. Для наглядности мы будем использовать уже знакомую нам игру 2:1. Система показывает, что если последняя игра выигрышная, то следующая игра имеет 55 %-ный шанс выигрыша. Если последняя игра проигрышная, то следующая игра имеет 45 %-ный шанс проигрыша. Таким образом, если последняя игра была выигрышная, то исходя из формулы Келли – уравнение (1.10) для поиска оптимального f (так как результаты игры имеют распределение Бернулли) – получим:

f = ((2 + 1) * 0,55 – 1) / 2 = (3 * 0,55 – 1) / 2 = 0,65 / 2 = 0,325.

После проигрышной игры наше оптимальное f равно:

f = ((2 + 1) * 0,45 – 1) / 2 = (3 * 0,45 – 1) / 2 = 0,35 / 2 = 0,175.

Разделив наибольший проигрыш системы (т. е. –1) на отрицательные оптимальные f, мы получим 1 ставку на каждые 3,076923077 единицы на счете после выигрыша и 1 ставку на каждые 5,714285714 единицы на счете после проигрыша. Таким образом, мы максимизируем рост в долгосрочной перспективе.

Отметьте, что в этом примере ставки как после выигрышей, так и после проигрышей все еще имеют положительное математическое ожидание. Что произойдет, если после проигрыша вероятность выигрыша будет равна 0,3? В таком случае математическое ожидание имеет отрицательное значение и оптимального f не существует, т. е. вам не следует использовать эту игру:

МО = (0,3 * 2) + (0,7 * –1) = 0,6–0,7 = –0,1.

В этом случае следует использовать оптимальное количество только после выигрыша и не торговать после проигрыша. Если зависимость действительно существует, вы должны изолировать сделки рыночной системы, основанные на зависимости, и обращаться с изолированными сделками как с отдельными рыночными системами. Принцип, состоящий в том, что асимптотический рост максимизируется, когда каждая игра осуществляется бесконечное количество раз в будущем, также применим к нескольким одновременным играм (или торговле портфелем).

Рассмотрим две системы ставок – А и Б. Обе имеют отношение выигрыша к проигрышу 2:1 и выигрывают 50 % времени. Допустим, что коэффициент корреляции между двумя системами равен 0. Оптимальные f для обеих систем (при раздельной, а не одновременной торговле) составляют 0,25 (т. е. 1 ставка на каждые 4 единицы на балансе). Оптимальные f при одновременной торговле в обеих системах составляют 0,23 (т. е. 1 ставка на каждые 4,347826087 единицы на балансе счета). В случае, когда система Б торгует только две трети времени, некоторые трейдеры разорятся, если обе системы не будут торговать одновременно. Первая последовательность показана при начальном комбинированном счете в 1000 единиц, и для каждой системы оптимальное f соответствует 1 ставке на каждые 4,347826087 единицы:

Конец ознакомительного фрагмента.

Текст предоставлен ООО «ЛитРес».

Прочитайте эту книгу целиком, купив полную легальную версию (http://www.litres.ru/ralf-vins/matematika-upravleniya-kapitalom-metody-analiza-riska-dlya-treyderov-i-portfelnyh-menedzherov/) на ЛитРес.

Безопасно оплатить книгу можно банковской картой Visa, MasterCard, Maestro, со счета мобильного телефона, с платежного терминала, в салоне МТС или Связной, через PayPal, WebMoney, Яндекс.Деньги, QIWI Кошелек, бонусными картами или другим удобным Вам способом.

notes

Примечания

1

Система подоптимальна, если ее можно оптимизировать. – Прим. ред.

2

Это правило применимо к торговле только в одной рыночной системе. Когда вы начинаете торговать более чем в одной рыночной системе, то вступаете в иную среду. Например, можно включить рыночную систему с отрицательным математическим ожиданием для одного из рынков и в действительности получить более высокое математическое ожидание, чем просто математическое ожидание группы до включения системы с отрицательным ожиданием! Более того, возможно, что математическое ожидание для группы с включением рыночной системы с отрицательным математическим ожиданием будет выше, чем математическое ожидание любой отдельной рыночной системы! В настоящее время мы рассматриваем только одну рыночную систему, и для того, чтобы методы управления деньгами работали, необходимо иметь положительное математическое ожидание.

3

Для процесса зависимых испытаний, как и для процесса независимых испытаний, ставка части вашего общего счета максимально использует положительное математическое ожидание. Однако при зависимых испытаниях ставки будут меняться; точная доля каждой отдельной ставки будет определяться вероятностями и выигрышами по каждой отдельной ставке.

4

Kelly, J. L., Jr. «A New Interpretation of Information Rate», Bell System Technical Journal, pp. 917–926, July 1956.

5

Многие ошибочно используют среднее арифметическое HPR в уравнении HPR ^ N. Как здесь показано, это не даст истинного TWR после N игр. Вы должны использовать геометрическое, а не арифметическое среднее HPR ^ N. Это даст истинное TWR. Если стандартное отклонение HPR = 0, тогда арифметическое среднее HPR и геометрическое среднее HPR эквивалентны и не имеет значения, какое из них вы используете.

6

Здесь есть еще один плюс, который сразу может быть и не виден. Он состоит в том, что мы заранее знаем проигрыш худшего случая. Учитывая, насколько чувствительно уравнение оптимального f к наибольшему проигрышу, такая стратегия может приблизить нас к пику кривой f и показать, каким может быть наибольший проигрыш. К тому же проблема проигрыша в трех стандартных отклонениях (или больше) с более высокой вероятностью, чем подразумевает нормальное распределение, будет устранена. Именно гигантские проигрыши (более трех стандартных отклонений) разоряют большинство трейдеров. Опционные стратегии могут полностью упразднить такие проигрыши.